2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ卷）（全解析版）

2022 年全国统一高考数学试卷 ( 新高考 Ⅰ) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． 1 D ． 2 3 ．在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的图像关于点 ， 中心对称，则 　　 A ． 1 B ． C ． D ． 3 7 ．设 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9 ．已知正方体 ，则 　　 A ．直线 与 所成的角为 B ．直线 与 所成的角为 C ．直线 与平面 所成的角为 D ．直线 与平面 所成的角为 10 ．已知函数 ，则 　　 A ． 有两个极值点 B ． 有三个零点 C ．点 是曲线 的对称中心 D ．直线 是曲线 的切线 11 ．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交 于 ， 两点，则 　　 A ． 的准线为 B ．直线 与 相切 C ． D ． 12 ．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ， 均为偶函数，则 　　 A ． B ． C ． （ 4 ） D ． （ 2 ） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ． 的展开式中 的系数为 　　 （用数字作答）． 14 ．写出与圆 和 都相切的一条直线的方程 　　 ． 15 ．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 　　 ． 16 ．已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是 　　 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ．（ 10 分）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）证明： ． 18 ．（ 12 分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （ 1 ）若 ，求 ； （ 2 ）求 的最小值． 19 ．（ 12 分）如图，直三棱柱 的体积为 4 ， △ 的面积为 ． （ 1 ）求 到平面 的距离； （ 2 ）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值． 20 ．（ 12 分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （ 1 ）能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （ 2 ）从该地的人群中任选一人， 表示事件 “ 选到的人卫生习惯不够良好 ” ， 表示事件 “ 选到的人患有该疾病 ” ， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 ． （ ⅰ ）证明： ； （ ⅱ ）利用该调查数据，给出 ， 的估计值，并利用（ ⅰ ）的结果给出 的估计值． 附： ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 21 ．（ 12 分）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ， 的斜率之和为 0 ． （ 1 ）求 的斜率； （ 2 ）若 ，求 的面积． 22 ．（ 12 分）已知函数 和 有相同的最小值． （ 1 ）求 ； （ 2 ）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年全国统一高考数学试卷（新高考 Ⅰ ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】分别求解不等式化简 与 ，再由交集运算得答案． 【解析】由 ，得 ， ， 由 ，得 ， ， ． 故选： ． 【试题评价】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题． 2 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． 1 D ． 2 【思路分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 ，再求出 ． 【解析】由 ，得 ， ，则 ， ．故选： ． 【试题评价】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3 ．在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则 　　 A ． B