2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 第八章立体几何初步 章末复习课 学案

专 项 培 优 3 章末复习课 知识网络 · 形成体系 考点聚焦 · 分类突破 考点一　空间几何体的表面积与体积 1 ．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 2 ．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养． 例 1 　 (1) [2021· 新高考 Ⅱ 卷 ] 正四棱台的上、下底面的边长分别为 2 ， 4 ，侧棱长为 2 ，则其体积为 ( 　　 ) A ． 20 ＋ 12 　　 B ． 28 C ． D ． (2) [2022· 新高考 Ⅱ 卷 ] 正三棱台高为 1 ，上下底边长分别为 3 和 4 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 ( 　　 ) A ． 100π B ． 128π C ． 144π D ． 192π (3) [2022· 新高考 Ⅰ 卷 ] 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中 一部分水蓄入某水库． 已知该水库水位为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 140.0 km 2 ；水位为海拔 157.5 m 时，相应水面的面积为 180.0 km 2 . 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5 m 上升到 157.5 m 时，增加的水量约为 ( ≈2.65)( 　　 ) A ． 1.0×10 9 m 3 B ． 1.2×10 9 m 3 C ． 1.4×10 9 m 3 D ． 1.6×10 9 m 3 (4) [2022· 新高考 Ⅰ 卷 ] 已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 36π ，且 3≤ l ≤3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( 　　 ) A ． [18 ， ] B ． [ ， ] C ． [ ， ] D ． [18 ， 27] 考点二　空间中的平行关系 1 ．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化，即从 “ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ” ，再到 “ 面面平行 ” ；而利用性质定理时，其顺序相反，且 “ 高维 ” 的性质定理就是 “ 低维 ” 的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律． 2 ．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养． 例 2 　 [2022· 新高考 Ⅱ 卷节选 ] 如图， PO 是三棱锥 P ­ ABC 的高， PA ＝ PB ， AB ⊥ AC ， E 为 PB 的中点．证明： OE ∥ 平面 PAC . 例 3 　 [2022· 全国甲卷 ] 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长 为 8( 单位： cm) 的正方形， △ EAB ， △ FBC ， △ GCD ， △ HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCD 垂直． (1) 证明： EF ∥ 平面 ABCD ； (2) 求该包装盒的容积 ( 不计包装盒材料的厚度 ) ． 考点三　空间中的垂直关系 1 ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅 助线来解决． 如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直． 2 ．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养． 例 4 　 (1) [2022· 全国乙卷 ] 在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 ( 　　 ) A ．平面 B 1 EF ⊥ 平面 BDD 1 B ．平面 B 1 EF ⊥ 平面 A 1 BD C ．平面 B 1 EF ∥ 平面 A 1 AC D ．平面 B 1 EF ∥ 平面 A 1 C 1 D (2)( 多选 ) [2021· 新高考全国 Ⅱ 卷 ] 如图，在正方体中， O 为底面的中心， P 为所在棱的中点， M ， N 为正方体的顶点．则满足 MN ⊥ OP 的是 ( 　　 ) 考点四　 空间角的计算问题 1 ．空间角的求法： 求空间各种 角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1) 求异面直线所成的角常用平移转化法 ( 转化为相交直线的夹角 ) ． (2) 求直线与平面所成的角常用射影转化法 ( 即作垂线、找射影 ) ． (3) 二面角的平面角的作法常有三种： ① 定义法； ② 垂线法； ③ 垂面法． 2 ．通过对空间角的计算问题的考查，提升学生数学抽象和数学运算素养． 例 5 　 (1) [2022· 全国甲卷 ] 在长方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 B 1 D 与平面 ABCD 和平面 AA 1 B 1 B 所成的角均为 30° ，则 ( 　　 ) A ． AB ＝ 2 AD B ． AB 与平面 AB 1 C 1 D 所成的角为 30° C ． AC ＝ CB 1 D ． B 1 D 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角为 45° (2)( 多选 ) [2022· 新高考 Ⅰ 卷 ] 已知正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 ，则 ( 　　 ) A ．直线 BC 1 与 DA 1 所成的角为 90° B ． 直线 BC 1 与 CA 1 所成的角为 90° C ．直线 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成的角为 45° D ．直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角为 45° 专项培优 3 　章末复习课 考点聚集 · 分类突破 例 1