2024届新教材高中数学二轮复习计数原理概率随机变量及分布列学案

第 9 讲　计数原理、概率、随机变量及分布列 一、知识回扣 1. 排列 (1) 排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 　 表示． (3) 排列数公式： A ＝ _ n ( n － 1)( n － 2)…( n － m ＋ 1) __. (4) 全排列： n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列， A ＝ _ n ·( n － 1)·( n － 2)·…·2·1 __ ＝ _ n ！ __. 排列数公式写成阶乘的形式为 A ＝ ，这里规定 0 ！＝ _ 1 __. 2. 组合 (1) 组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2) 组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 _ C __ 表示． (3) 组合数的计算公式： C ＝ ＝ ＝ ，由于 0 ！＝ 1 ，所以 C ＝ _ 1 __. (4) 组合数的性质： ① C ＝ _ C __ ； ② C ＝ C ＋ C . 3. 二项式定理 ( a ＋ b ) n ＝ _ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n __( n ∈ N * ) ． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 ( a ＋ b ) n 的二项展开式，其中的系数 C ( k ∈ {0,1,2 ， … ， n }) 叫做二项式系数．式中的 _ C a n － k b k __ 叫做二项展开式的通项，用 T k ＋ 1 表示，即展开式的第 k ＋ 1 项： T k ＋ 1 ＝ _ C a n － k b k __. 4. 二项式系数的性质 (1) 对称性：与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等，即 _ C ＝ C __. (2) 增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为 C ，当 k < 时，二项式系数是递增的；当 k > 时，二项式系数是递减的．当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项 T ＋ 1 的二项式系数最大． 当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项 T ＋ 1 和 T ＋ 1 的二项式系数相等且最大． (3) 各二项式系数的和 ( a ＋ b ) n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n ， 即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＋ … ＋ C ＝ _ 2 n __. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ _ 2 n － 1 __. 5. 概率的计算公式 (1) 古典概型的概率计算公式 P ( A ) ＝ . (2) 互斥事件的概率计算公式 P ( A ∪ B ) ＝ _ P ( A ) ＋ P ( B ) __. (3) 对立事件的概率计算公式 P ( ) ＝ 1 － _ P ( A ) __. (4) 条件概率公式 P ( B | A ) ＝ . 6. 离散型随机变量 (1) 离散型随机变量的分布列的两个性质 ① p i ≥0( i ＝ 1,2 ， … ， n ) ； ② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ _ 1 __. (2) 均值公式 E ( X ) ＝ _ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x n p n __. (3) 均值的性质 ① E ( aX ＋ b ) ＝ _ aE ( X ) ＋ b __ ； ② 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ _ np __ ； ③ 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ _ p __. (4) 方差公式 D ( X ) ＝ [ x 1 － E ( X )] 2 · p 1 ＋ [ x 2 － E ( X )] 2 · p 2 ＋ … ＋ [ x n － E ( X )] 2 · p n ，标准差为 . (5) 方差的性质 ① D ( aX ＋ b ) ＝ _ a 2 D ( X ) __ ； ② 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 D ( X ) ＝ _ np (1 － p ) __ ； ③ 若 X 服从两点分布，则 D ( X ) ＝ _ p (1 － p ) __. (6) 独立事件同时发生的概率计算公式 P ( AB ) ＝ _ P ( A ) P ( B ) __. (7) 独立重复试验的概率计算公式 P ( X ＝ k ) ＝ _ C p k (1 － p ) n － k ， k ＝ 0,1,2 ， … ， n __. 7. 正态分布 如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ． 满足正态分布的三个基本概率的值是 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ )≈_ 0.682 _ 7 __ ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ )≈_ 0.954 _ 5 __ ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ )≈_ 0.997 _ 3 __. 二、易错提醒 1. 关于两个计数原理应用的注意事项 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2. 排列、组合问题的求解方法与技巧 (1) 特殊元素或特殊位置优先安排． (2) 合理分类与准确分步． (3) 排列、组合混合问题先选后排． (4) 相邻问题捆绑处理． (5) 不相邻问题插空处理． (6) 定序问题排除法处理． (7) 正难则反，等价条件． 3. 二项式定理应用时的注意事项 (1) 注意区别 “ 项的系数 ” 与 “ 二项式系数 ” ，审题时要仔细． 项的系数与 a ， b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正． (2) 赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0 ， ±1. 4. 应用互斥事件的概率加法公