1.5.2 数量积的坐标表示及其计算
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________．状元随笔 对于·＝||·||·cos θ和·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cos θ的正负．要点二 向量的长度若a＝(x，y)，则|a|＝____________．要点三 夹角余弦值设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝＝________________． x1x2＋y1y2
要点四 垂直条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ⇔a·b＝0⇔____________．状元随笔 这个结论与∥⇔x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义来理解，设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即＝，得x2y1－x1y2＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ＝0(θ为向量与的夹角)，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋y1y2＝0
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．( )(2)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．( )(3)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )(4)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用条件是a≠0且b≠0.( ) √×√√
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )A．23 B．7 C．－23 D．－7答案：D解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．2答案：A解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
4．已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________． 答案：2解析：因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
题型探究·课堂解透
题型 1 数量积的坐标运算例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )A．(－15，12) B．0C．－3 D．－11 答案：C解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2) 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝，D，E是线段BC上的点，且DE＝BC，则·的取值范围是( )A． B．C． D． 答案：A
解析：如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，设D(x，0)，则E.∴＝(x，－1)，＝，∴·＝x2＋x＋1＝＋，当x＝－时，·取得最小值；当x＝－1或时，·取得最大值，所以·的取值范围是.
方法归纳向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．
跟踪训练1 (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，c＝(－1，2)，则(a＋b)·c＝________解析：(1)因为向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，所以a＋b＝(－1，5)，所以(a＋b)·c＝－1×(－1)＋5×2＝11。11
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________． 2解析：以AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(也可以以A点为坐标原点)．则A(－1，0)，B(1，0)，D(－1，2)，E(0，2)，则＝(－2，2)，＝(1，2)，于是·＝1×(－2)＋2×2＝2.
题型 2 向量的长度例2 已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.解析：(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，∴|a－2b|＝＝.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1，6)，∴|c|＝＝.
方法归纳向量长度的计算，如果给出了坐标，先进行线性运算，再利用向量的长度公式计算．
跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )A． B． C． D． 解析：因为a∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝. 答案：A
(2)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．2 解析：∵a＝(2，0)，∴|a|＝2∴|a＋2b|＝＝＝2.
题型 3 向量的夹角例3 已知向量a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)ka－b与a＋b共线？(2)ka－b与a＋b的夹角为120°？
解析：因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，所以ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)因为ka－b与a＋b共线，所以k＋2－(－k)＝0，解得k＝－1.(2)因为|ka－b|＝，|a＋b|＝，所以(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，所以cos 1
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.5向量的数量积1.5.2数量积的坐标表示及其计算 课件
