2023-2024学年高中数学北师大版选择性必修第二册 第1章数列5数学归纳法 课件

第一章　数　列 *§5　数学归纳法 必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向 素养目标•定方向 1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养. 必备知识•探新知 数学归纳法 知识点 一般地,证明某些与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_______(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)(归纳递推)假设当_________________________时命题成立，证明当_____________时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．[提醒]　在第二个步骤证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件．n0n＝k(k∈N＋，k≥n0)n＝k＋1 想一想：1．验证的第一个值n0一定是1吗？2．在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法． 练一练：1．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)A．2 B．3 C．4 D．5[解析]　显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23<32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25>52，符合要求，D正确．D (2k＋1)＋(2k＋2) 关键能力•攻重难 题|型|探|究　　　　　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.[证明]　①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，题型一用数学归纳法证明等式典例 1 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据①和②可知等式对任何n∈N＋都成立． [规律方法]　用数学归纳法证明等式的规则(1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法． 对点训练❶ 则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时等式成立．由①②可得，对于任意的n∈N*等式都成立. [分析]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．题型二用数学归纳法证明不等式典例 2 [规律方法]　用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练❷ 所以当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立. 　　　　　证明：n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除．[证明]　①当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立．②假设当n＝k时，命题成立，即n3＋5n＝k3＋5k能够被6整除，当n＝k＋1时，n3＋5n＝(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6，由假设知：k3＋5k能够被6整除，而k(k＋1)为偶数，故3k(k＋1)能够被6整除，故(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6能够被6整除，题型三用数学归纳法证明整除问题典例 3 即当n＝k＋1时，命题成立，由①②可知，命题对一切正整数成立，即n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除． [规律方法]　用数学归纳法证明整除问题的方法及关键用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出使假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，从而利用归纳假设使问题得到解决． 　　　　　　　　证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．[证明]　①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.故f(k＋1)也能被64整除．综合①②，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.对点训练❸ 　　　　　已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．题型四数学归纳法在数列中的应用典例 4(2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当n＝k时成立，然后利用已知条件验证n＝k＋1时也成立，从而求证． (2)①当n＝1时，a1＝2，等式成立；②