2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.2圆的一般方程 课件

第一章2.2　圆的一般方程 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准1.理解圆的一般方程及其特点.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆的一般方程 名师点睛1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 过关自诊1.[人教B版教材习题]写出下列圆的圆心坐标和半径:(1)x2+y2-6x=0;(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0. 2.[人教B版教材习题]已知a,b为实数,判断x2+y2+2ax-b2=0是否是圆的方程,并说明理由.提示 原方程可化为(x+a)2+y2=a2+b2,当a=b=0时,x2+y2=0,不是圆的方程,它表示原点;当a,b不同时为零时,方程表示圆心为(-a,0),半径为 的圆. 3.[人教B版教材习题]已知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3,求实数a的值. 知识点2　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 　　　　　　　　位置关系与符号的对应和标准方程的一致2.点M的坐标(x,y)满足的　　　 　　称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.  等量关系式 过关自诊1.[人教B版教材习题]判断点A(0,0),B(-1,5),C(1,-2)与圆x2+y2+2x-4y-4=0的位置关系.提示 将A(0,0)代入圆的方程得-4<0,∴A在圆内;将B(-1,5)代入圆的方程,得1+25-2-20-4=0,∴B在圆上;将C(1,-2)代入圆的方程,得1+4+2+8-4>0,∴C在圆外. 2.[人教B版教材习题]已知坐标原点不在圆x2+y2-ay+a-1=0的内部,求实数a的取值范围.提示 ∵(0,0)不在圆的内部,∴将(0,0)代入圆的方程,得a-1≥0,∴a≥1. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　圆的一般方程初步理解【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径. 规律方法　形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 变式训练1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(　　)A.1或-2 B.2或-1C.-1 D.2C解析 因为方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次项系数不一定为1,因此若它表示圆,需要二次项的系数相等且不等于0,且转化为一般式后满足 (2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的值是(　　)A.4 B.3C.2 D.1D解析 把圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,设圆C的半径为r,则有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1时,r2取得最小值,从而圆C的面积S=πr2在m=1时取得最小值.故选D. 探究点二　　求圆的一般方程【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值. 解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6. 变式探究1若例2中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,求圆C的方程. 变式探究2将例2改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上”,试求△QMN面积的最大值. 规律方法　应用待定系数法求圆的方程时应注意:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系数法求出常数D,E,F. 变式训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　　　　　　　　　. x2+y2-4x-4y-2=0 探究点三　　求动点的轨迹方程【例3】 已知点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解 (1)设线段AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=