2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.2　第一课时　直线与平面平行的判定（学案）

8.5.2 　直线与平面平行 第一课时　直线与平面平行的判定 新课程标准解读 核心素养 1. 借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理 2. 会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行 直观想象 如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面 α ，将乒乓球网的上边缘抽象成直线 l ，则直线 l 与平面 α 具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线 m ，并把 m 看成平面 α 内的直线，则直线 l 与直线 m 具有怎样的位置关系？ 问题 　你能给出判定的依据吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 直线与平面平行的判定定理 文字 语言 如果 　平面外　 一条直线与此 　平面内　 的一条直线 　平行　 ，那么该直线与此平面平行 符号 语言 　 a ⊄ α ， b ⊂ α ，且 a ∥ b 　 ⇒ a ∥ α 图形 语言 提醒 　 线面平行判定定理的实质是线线平行 ⇒ 线面平行 . 1. 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是（　　） A. b ⊂ α ， a ∥ b B. b ⊂ α ， c ∥ α ， a ∥ b ， a ∥ c C. b ⊂ α ， A ， B ∈ a ， C ， D ∈ b ，且 AC ∥ BD D. a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b 解析： D 　 由线面平行的判定定理可知， D 正确 . 2. 棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是（　　） A. 平行　　　　　　　　 B. 相交 C. 平行或相交 D. 不相交 解析： A 　 因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行 . 故选 A. 3. 考查 ①② 两个命题， ① ⇒ l ∥ α ； ② ⇒ l ∥ α. 它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题（其中 l ， m 为直线， α 为平面），则此条件为 　　　　　 . 解析： ① 由线面平行的判定定理知 l ⊄ α ； ② 由线面平行的判定定理知 l ⊄ α. 答案： l ⊄ α 题型一 线面平行判定定理的理解 【例 1 】 　如果两直线 a ∥ b ，且 a ∥ α ，则 b 与 α 的位置关系是（　　） A. 相交　　　　　　　　　 B. b ∥ α C. b ⊂ α D. b ∥ α 或 b ⊂ α 解析　 由 a ∥ b ，且 a ∥ α ，知 b ∥ α 或 b ⊂ α. 答案　 D 通性通法 线面平行的判定定理必须具备三个条件 （ 1 ）直线 a 在平面 α 外，即 a ⊄ α ； （ 2 ）直线 b 在平面 α 内，即 b ⊂ α ； （ 3 ）两直线 a ， b 平行，即 a ∥ b ，这三个条件缺一不可 . 如图，一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 α 内，把这块矩形木板绕 AB 转动，在转动的过程中， AB 的对边 CD 与平面 α 的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 在平面 α 内 D. 平行或在平面 α 内 解析： D 　 在旋转过程中， CD ∥ AB ，易得 CD ∥ α 或 CD ⊂ α. 故选 D. 题型二 直线与平面平行的判定 【例 2 】 　如图，四棱锥 P - ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＝ 2 BC ， M 为 PD 的中点 . 证明： CM ∥ 平面 PAB . 证明 　 取 PA 的中点 N ，连接 BN ， MN ， ∵ M ， N 分别为 PD ， PA 的中点，则 MN ∥ AD 且 MN ＝ AD ， 又 BC ∥ AD 且 BC ＝ AD ， ∴ BC ∥ MN 且 BC ＝ MN ， 故四边形 BCMN 为平行四边形，即 CM ∥ BN ， ∵ CM ⊄ 平面 PAB ， BN ⊂ 平面 PAB ， ∴ CM ∥ 平面 PAB . 通性通法 应用判定定理证明线面平行的步骤 第一步 “ 找 ” 是证题的关键，其常用方法有： ① 空间直线平行关系的传递性法； ② 三角形中位线法； ③ 平行四边形法； ④ 线段成比例法 . 提醒 　 线面平行判定定理应用的误区 ： ① 条件罗列不全，最易忘记的条件是 “ 直线在平面外 ” ； ② 不能利用题目条件顺利地找到两平行直线 . 如图所示，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中， D 为 AC 的中点，求证： AB 1 ∥ 平面 BC 1 D . 证明 ： 如图，连接 B 1 C 交 BC 1 于点 O ，连接 OD ， ∵ 四边形 BCC 1 B 1 是平行四边形 . ∴ 点 O 为 B 1 C 的中点 . ∵ D 为 AC 的中点， ∴ OD 为 △ AB 1 C 的中位线， ∴ OD ∥ AB 1 . ∵ OD ⊂ 平面 BC 1 D ， AB 1 ⊄ 平面 BC 1 D ， ∴ AB 1 ∥ 平面 BC 1 D . 1. 如图，在正方体 ABCD - A'B'C'D' 中， E ， F 分别为底面 ABCD 和底面 A'B'C'D' 的中心，则正方体的六个面中与 EF 平行的平面有（　　） A.1 个　　　　　　　　 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： D 　 由直线与平面平行的判定定理知， EF 与平面 AB' 、平面 BC' 、平面 CD' 、平面 AD' 均平行 . 故与 EF 平行的平面有 4 个 . 故选 D. 2. 若 M ， N 分别是 △ ABC 的边 AB ， AC 的中点，则 MN 与过直线 BC 的平面 β 的位置关系是（　　） A. MN ∥ β B. MN 与 β 相交或 MN ⊂ β C. MN ∥ β 或 MN ⊂ β D. MN ∥ β 或 MN 与 β 相交或 MN ⊂ β 解析： C 　 若平面 β 是 △ ABC 所在的平面，则 MN ⊂ β. 若 MN ⊄ β ，则 MN ∥ β. 故选 C. 3. 在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别在 AD ， CD 上，且满足 ＝ ，则直线 EF 与平面 ABC 的位置关系是（　　） A. EF ∥ 平面 ABC B. EF ⊂ 平面 ABC C. EF 与平面 ABC 相交 D. 以上都有可能 解析： A 　 ∵ ＝ ， ∴ EF ∥ AC