6.3.1 二项式定理
课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练
素养•目标定位
目 标 素 养1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.3.能解决与二项式定理有关的简单问题.4.通过学习,提升数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.二项式定理 注:①通项为展开式的第k+1项不要误认为是第k项;②公式对∀a,b∈R都成立.
(2)在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式: 微思考 二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?提示:二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.
微训练1以下判断正确的是( )A.(a+b)n展开式中共有n项B.在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响D.(a-b)n与(a+b)n的展开式的二项式系数相同答案:D
微训练2求(1+2x)n展开式项的系数和二项式系数.
课堂·重难突破
一 二项式定理的正用和逆用典例剖析 (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
规律总结 二项式定理的双向功能(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
学以致用1.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为( )A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1答案:A
答案:1
二 二项式系数与项的系数问题典例剖析 (1)求展开式第4项的二项式系数;(2)求展开式第4项的系数;(3)求展开式的第4项.
规律总结 1.二项式系数都是组合数 (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
学以致用 (1)求n的值;(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.
三 与展开式中的特定项有关的问题典例剖析 (1)求n的值;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中的常数项.
互动探究 (变问法)本例条件不变,问题改为“求展开式中所有的有理项”.
∵k∈Z,∴r应为偶数,r=2,0,-2,即k=2,5,8,故第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为45x2,-252, 45x-2.
规律总结 求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,先令其属于整数,再根据数的整除性来求解.(4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
学以致用4.(1)在(1-2x)5(2+x)展开式中,x4的系数为 . 答案:(1)80 (2)4
随堂训练
答案:B
2.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10答案:B
A.2 B.4 C.8 D.28答案:C
答案:7 依题意需使18-3k为非负整数.故18-3k≥0,解得k≤6,又k∈N,即k=0,1,2,3,4,5,6,共7项.
(1)求展开式中的第4项;(2)求展开式中的有理项的系数和.
2023-2024学年人教A版选择性必修第3册 第6章计数原理6.3.1二项式定理 (课件)
