第二章 平面向量及其应用§6 平面向量的应用
课时3 利用正弦定理和余弦定理解三角形
学习目标 1.能够解决平面几何中的解三角形问题.（直观想象） 2.初步解决正、余弦定理与向量等知识的综合问题.（逻辑推理） 3.能够解决与三角形有关的最值（取值范围）问题.（数学运算）
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1.在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 由余弦定理得 <m></m> ，由正弦定理得 <m></m> ，所以 <m></m> .
2.在 <m></m> 中,角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 所对的边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,且 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B[解析] 由余弦定理得 <m></m> ,所以 <m></m> .
3.在 <m></m> 中，若 <m></m> ， <m></m> ，其面积 <m></m> ，则 <m></m> 外接圆的半径为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B[解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> <m></m> ，设 <m></m> 外接圆的半径为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .
探究1 平面几何中的解三角形问题例1 如图，在平面四边形 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> , <m></m> . （1）求 <m></m> 的面积； （2）若 <m></m> ，求 <m></m> 的长. [解析] （1）在 <m></m> 中，由余弦定理，得 <m></m> ，即 <m></m> ，解得 <m></m> ，所以 <m></m> 的面积 <m></m> .
（2）设 <m></m> ,则 <m></m> ，所以 <m></m> .又因为 <m></m> ,所以 <m></m> .在 <m></m> 中，由正弦定理得 <m></m> ，即 <m></m> ，所以 <m></m> .
&1& 在求解与平面图形有关的解三角形问题过程中， 要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合；求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
针对训练1 如图，在平面四边形 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的面积为 <m></m> ， <m></m> . （1）求 <m></m> 的值； （2）若 <m></m> ，求 <m></m> 的长.
[解析] （1）因为 <m></m> 的面积 <m></m> ，所以 <m></m> ，又 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> .由余弦定理得 <m></m> ，由正弦定理得 <m></m> .
（2）因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> <m></m> .在 <m></m> 中，由正弦定理 <m></m> 可得 <m></m> .由余弦定理 <m></m> ，可得 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> （舍去）.故BC的长为 <m></m> .
探究2 平面向量与正弦定理、余弦定理的综合例2 在 <m></m> 中,内角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 为 <m></m> 的平分线,且满足 <m></m> , <m></m> . （1）若 <m></m> , <m></m> ,求 <m></m> 的大小； （2）若 <m></m> ,求 <m></m> 的面积. 方法指导 利用向量的线性运算化简可得 <m></m> 与 <m></m> 的关系,再分别在两个三角形中利用正弦定理和余弦定理求解.
[解析] 由 <m></m> ,可得 <m></m> ,在 <m></m> 中,由正弦定理得 <m></m> ,在 <m></m> 中,由正弦定理得 <m></m> ,又 <m></m> 平分 <m></m> ， <m></m> ,即 <m></m> （也可由角平分线定理直接得到）,令 <m></m> ,则 <m></m> . （1）由 <m></m> , <m></m> ,得 <m></m> , <m></m> ,由余弦定理可得 <m></m> , <m></m> 为三角形内角， <m></m> .
（2）在 <m></m> 中,由余弦定理可得 <m></m> ,在 <m></m> 中，由余弦定理可得 <m></m> ，化简得 <m></m> .由 <m></m> ,可得 <m></m> , <m></m> ， <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> .
&2& 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.（1）解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.（2）解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理,三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
针对训练2 在 <m></m> 中，角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 所对的边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，已知向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .求角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的值； [解析] <m></m> ， <m></m> .由正弦定理和余弦定理得 <m></m> , <m></m> , <m></m> ,而 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .
探究3 解三角形中的最值（取值范围）
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 利用正弦定理和余弦定理解三角形 课件
