2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.2.1　双曲线及其标准方程 学案

3 ． 2.1 　双曲 线 及其 标 准方程 学习目标 1. 了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导和化简过程． 2. 掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形． 知识脉络 1 ．双曲线的定义 文字语言 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的 差的绝对值 等于非零常数 ( 小于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹． 符号语言 || PF 1 | － | PF 2 || ＝常数 ( 常数＜ | F 1 F 2 |) 焦点 定点 F 1 ， F 2 焦距 两焦点间 的距离 思考 1 ：双曲线定义中，将 “ 小于 | F 1 F 2 | ” 改为 “ 等于 | F 1 F 2 | ” 或 “ 大于 | F 1 F 2 | ” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示　当距离之差的绝对值等于 | F 1 F 2 | 时 ， 动点的轨迹是两条射线 ，端点分别是 F 1 ， F 2 ， 当距离之差的绝对值大于 | F 1 F 2 | 时 ， 动点的轨迹不存在． 思考 2 ：双曲线的定义中， F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点，若 | MF 1 | － | MF 2 | ＝ 2 a ( 常数 ) ，且 2 a <| F 1 F 2 | ，则点 M 的轨迹是什么？ 提示　点 M 在双曲线的右支上． 2 ．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 － ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) － ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 焦点 ( － c ， 0) ， ( c ， 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c ) a 、 b 、 c 的关系 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 思考 3 ：在双曲线的标准方程中一定有 a > b 吗？ 提示　在双曲线的标准方程中 a ， b 的关系不确定． 思考 4 ： mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( mn <0) 是双曲线的方程吗？焦点怎样确定？ 提示　 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( mn <0) 是双曲线的方程 ， 焦点不能确定 ， 可能在 x 轴上 ， 也可能在 y 轴上． 判断正误 (1) 平面内到两定点的距离的差等于常数 ( 小于两定点间距离 ) 的点的轨迹是双曲线． ( 　　 ) (2) 在双曲线标准方程 － ＝ 1 中， a ＞ 0 ， b ＞ 0 且 a ≠ b .( 　　 ) (3) 在双曲线标准方程中， a ， b ， c 之间的关系与椭圆中 a ， b ， c 之间的关系相同． ( 　　 ) (4) 双曲线 － ＝ 1 的焦点在 x 轴上，且 a ＞ b .( 　　 ) (5) 双曲线标准方程中， a ， b 的大小关系是 a ＞ b .( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × (5) × 椭圆与双曲线的比较 若 | MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a (2 a >| F 1 F 2 |) ， 则动点 M 的轨迹是椭圆． 曲线 椭圆 双曲线 定义 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a (| F 1 F 2 | ＝ 2 c ， 2 a ＞ 2 c ) || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (| F 1 F 2 | ＝ 2 c ， 2 a ＜ 2 c ) 标准方程 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) － ＝ 1 或 － ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支 ， 不封闭 ， 不连续 根据标准方程确定 a ， b 的方法 以大小分 a ， b ( 如 ＋ ＝ 1 中 ， 9 ＞ 4 ， a 2 ＝ 9 ， b 2 ＝ 4) 以正负分 a ， b ( 如 － ＝ 1 中 ， 4 ＞ 0 ， － 9 ＜ 0 ， a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 9) a ， b ， c 的关系 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ( a 最大 ) c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ( c 最大 ) 类型一 双曲线的定义及应用 数学抽象 【例 1 】　 (1) 若双曲线 － ＝ 1 上一点 P 到点 (5 ， 0) 的距离为 15 ，则点 P 到点 ( － 5 ， 0) 的距离为 ( 　　 ) A.7 　　　　　　　　　 B ． 2 C.5 或 25 D ． 7 或 23 (2) 已知双曲线 － ＝ 1 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ，若双曲线上一点 P 使得 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ，求 △ F 1 PF 2 的面积． (1) D 　 [ 因为双曲线 － ＝ 1. 所以 2 a ＝ 8 ， (5 ， 0) ， ( － 5 ， 0) 是两个焦点 ， 因为点 P 在双曲线上 ， 所以 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 8 ， 因为点 P 到点 (5 ， 0) 的距离为 15 ， 则点 P 到点 ( － 5 ， 0) 的距离是 15 ＋ 8 ＝ 23 或 15 － 8 ＝ 7.] (2) 解　由 － ＝ 1 ， 得 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， c ＝ 5. 由定义和余弦定理得 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ ±6 ， | F 1 F 2 | 2 ＝ | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 || PF 2 |·cos 60° ， 所以 10 2 ＝ (| PF 1 | － | PF 2 |) 2 ＋ | PF 1 |·| PF 2 | ， 所以 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 64 ， 所以 S △ F 1 PF 2 ＝ | PF 1 |·| PF 2 |·sin ∠ F 1 PF 2 ＝ × 64 × ＝ 16 . 【延伸探究 1 】　 本例 (2) 中若 ∠ F 1 PF 2 ＝ 90° ，其他条件不变，求 △ F 1 PF 2 的面积． 解　由双曲线方程知 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， c ＝ 5 由双曲线的定义 ， || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a ＝ 6 ， ∴ | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 36 　 ① 在 Rt △ F 1 PF 2 中 ， 由勾股定理 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ＝ (2 c ) 2 ＝ 100 　 ② 将 ② 代入 ① 得： | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 32 ， ∴ S △ F 1 PF 2 ＝ | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 16. 【延伸探究 2 】　 本例 (2) 中将 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° 改为 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 32 ，其他条件不变，求 △ F 1 PF 2 的面积． 解　因为 P 是双曲线左支上的点 ， 所以 | PF 2 | － | PF 1 | ＝ 6 ， 两边平方得 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 |