2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）（全解析版）

2022 年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设集合 ， ， 0 ， 1 ， ， ，则 　　 A ． ， 1 ， B ． ， ， C ． ， D ． ， 2 ．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则 　　 A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为 　　 A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 20 5 ．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关于 轴对称，则 的最小值是 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．从分别写有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．函数 在区间 ， 的图像大致为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ 2 ） 　　 A ． B ． C ． D ． 1 9 ．在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则 　　 A ． B ． 与平面 所成的角为 C ． D ． 与平面 所成的角为 10 ．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点．若 ，则 的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 12 ．已知 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．已知向量 ， ．若 ，则 　　 ． 14 ．设点 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 　　 ． 15 ．记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与 无公共点”的 的一个值 　　 ． 16 ．已知 中，点 在边 上， ， ， ．当 取得最小值时， 　　 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）甲、乙两城之间的长途客车均由 和 两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 240 20 210 30 （ 1 ）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （ 2 ）能否有 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附： ． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18 ．（ 12 分）记 为数列 的前 项和．已知 ． （ 1 ）证明： 是等差数列； （ 2 ）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值． 19 ．（ 12 分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面 是边长为 8 （单位： 的正方形， ， ， ， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 20 ．（ 12 分）已知函数 ， ，曲线 在点 ， 处的切线也是曲线 的切线． （ 1 ）若 ，求 ； （ 2 ）求 的取值范围． 21 ．（ 12 分）设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 ， 两点．当直线 垂直于 轴时， ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线 的方程． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），曲线 的参数方程为 为参数）． （ 1 ）写出 的普通方程； （ 2 ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知 ， ， 均为正数，且 ，证明： （ 1 ） ； （ 2 ）若 ，则 ． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设 集合 A={-2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 } ， 则 （ ） A . { 0 ， 1 ， 2 } ； B. {-2 ， - 1 ， 0 } ； C. { 0 ， 1 } ； D . { 1 ， 2 } 。 【思路分析】利用交集定义直接求解。 【解析】