第二章2.2 双曲线的简单几何性质
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课程标准1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.
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知识点 双曲线的几何性质 不闭合的开放曲线 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)性质图形 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)性质焦距 范围 或 y∈ 或 x∈ 对称性对称轴: ;对称中心: 顶点 轴实轴:线段 ,实轴长: ;虚轴:线段 ,虚轴长: ;实半轴长: ,虚半轴长: 离心率e= ∈ 渐近线 |F1F2|=2c x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 坐标轴 原点A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) A1A2 2a B1B2 2b a b(1,+∞)
名师点睛1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为 (λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.
3.因为 ,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于 .
过关自诊1.[人教A版教材习题]双曲线4x2-y2+64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于 . 17解析 把双曲线方程化为标准方程,得 ,所以a=8.由双曲线定义可知,点P到两焦点距离的差的绝对值等于16,设点P到另一个焦点的距离为m,有|m-1|=16,解得m=17或m=-15(舍去).故点P与另一个焦点的距离等于17.
2.[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=2 ,经过点A(-5,2);
3.[人教A版教材习题]已知下列双曲线的方程,求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程:(1)16x2-9y2=144;(2)16x2-9y2=-144.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 由双曲线方程研究其几何性质【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的x,y的取值范围、顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
变式探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
规律方法 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
A.两个双曲线有公共顶点B.两个双曲线焦距相同C.两个双曲线有公共渐近线D.两个双曲线的离心率相等BC
探究点二 由双曲线的几何性质求标准方程【例2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
规律方法 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
变式训练2求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为 ;(2)过点(2,0),与双曲线 离心率相等.
探究点三 双曲线的渐近线与离心率问题角度1.求双曲线的离心率或取值范围【例3】 设点F为双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则双曲线C的离心率为( )A
规律方法 求双曲线离心率及范围的常见方法(1)求双曲线离心率的常见方法:①若可求得a,c,则直接利用e= 得解;②若已知a,b,或得到a,b的关系式,可利用 求解;③若得到的是关于a,c的齐次方程,则方程两边同除以a的最高次幂,转化为关于e的方程求解.(2)求离心率范围的技巧:①根据条件建立a,b,c的不等式,类似于求离心率的方法转化求解;②通过解不等式得 的范围,求得离心率的范围.
变式训练3如图所示,F1和F2分别是双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 .
解析 连接AF1(图略),由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.
角度2.双曲线的渐近线与离心率的综合 D
规律方法 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助 进行互求.一
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.2双曲线的简单几何性质 课件
