2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 学案

第 3 课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课程标准 能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　距离问题 ❶ 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 要点二　高度问题 ❷ 类型 图形 方法 底部可达 测得 BC ＝ a ， ∠ BCA ＝ C ， AB ＝ a ·tan C . 底部不可达 点 B 与 C ， D 共线 测得 CD ＝ a 及 C 与 ∠ ADB 的度数． 先由正弦定理求出 AC 或 AD ，再解三角形得 AB 的值． 点 B 与 C ， D 不共线 测得 CD ＝ a 及∠ BCD ， ∠ BDC ， ∠ ACB 的度数． 在 △ BCD 中由正弦定理求得 BC ，再解三角形得 AB 的值． 要点三　角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量 ，从而得到实际问题的解． 助 学 批 注 批注 ❶ 　涉及有关角的术语： (1) 方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角． (2) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东 ( 西 ) 、南偏东 ( 西 )×× 度． 批注 ❷ 　涉及的有关术语： (1) 仰角与俯角：在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角． (2) 坡角：坡面与水平面的夹角． (3) 坡度：坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比． 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 已知三角形的三个角，能够求其三条边． ( 　　 ) (2) 两个不可到达的点之间的距离无法求得． ( 　　 ) (3) 东偏北 45° 的方向就是东北方向． ( 　　 ) (4) 仰角与俯角所在的平面是铅垂面． ( 　　 ) 2 ．在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60° 和 30° ，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m ，则建筑物高度为 ( 　　 ) A ． 20 m 　　 B ． 30 m C ． 40 m 　　 D ． 60 m 3 ．在相距 2 千米的 A 、 B 两点处测量目标 C ，若 ∠ CAB ＝ 75° ， ∠ CBA ＝ 60° ，则 A ， C 两点之间的距离是 ( 　　 ) A ． 千米 B ． 千米 C ． 6 千米 D ． 2 千米 4 ．已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85° 且 A 到 C 的距离为 2 km ， B 船在灯塔 C 北偏西 65° 且 B 到 C 的距离为 km ，则 A ， B 两船的距离为 ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　测量距离问题 例 1 　 [2022· 山东德州高一期中 ] 为测量海底两点 C ， D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 A ， B 两点进行测量， A ， B ， C ， D 在同一个铅垂平面内．海底探测仪 测得∠ BAC ＝ 30° ， ∠ DAC ＝ ∠ ABD ＝ 45° ， ∠ DBC ＝ 75° ，同时测得 AB ＝ 海里． (1) 求 AD 的长度； (2) 求 C ， D 之间的距离． 题后师说 三角形中与距离有关问题的求解策略 解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． 巩固训练 1 　 [2022· 福建龙岩高一期中 ] 两 座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 5 km ， 8 km ，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 70° 方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 50° 方向上，则灯塔 A 与 B 的距离为 ________km. 题型 2 　测量高度问题 例 2 　 [2022· 河北唐山高一期中 ] 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因 前山如凤凰展翅故名． 古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥 C ­ OAB ， OC 垂直水平面 OAB ，点 C 代表凤凰亭的上顶点， A ， B 两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在 A 处测得仰角为 45° ，同学乙在 B 处测得仰角为 30° ，同学丙测得两个观测点之间的距离 AB 为 90 米． ( 附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． ) (1) 求 ； (2) 同学甲测出 ∠ CAB 为钝角，同学乙测算出 cos ∠ CBA ＝ ，求山高的近似值 OC . 题后师说 解决测量高度问题的一般步骤 巩固训练 2 　 [2022· 湖南郴州高一期末 ] 如图，为了测量河对岸的塔高 AB . 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个基点 C 与 D ，现测得 CD ＝ 30 米，且在点 C 和 D 测得塔顶 A 的仰角分别为 45° ， 30 °，又∠ CBD ＝ 30° ，则塔高 AB ＝ ________ 米． 题型 3 　测量角度问题 例 3 　 [2022· 福建三明一中高一期中 ] 在海岸 A 处，发现北偏东 45° 方向，距离 A 为 10( － 1) 海里的 B 处有一艘走私船，