1基础落实·必备知识全过关2重难探究·能力素养全提升
课程标准
01基础落实·必备知识全过关
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数
单调性续表
最值图象的 对称性续表
对正弦函数、余弦函数的单调区间的理解（1）取内的每一个值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间.（2）正弦函数或余弦函数取最值时，对应着函数图象的最高点或最低点. 名师点睛
过关自诊1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？提示 不是,它们只是在某具体区间上是单调函数.2.和在区间（其中）上都单调递减,你能确定的最小值,的最大值吗？ 提示由正弦函数和余弦函数的单调性可知的最小值为,的最大值为. 3.函数的单调递减区间是______________________；单调递增区间是_____________________. <m></m> <m></m>
4.比较与的大小. 解,,,..
02重难探究·能力素养全提升
探究点一 求三角函数的单调区间【例1】 求下列函数的单调递减区间:（1）; 解令,则,函数的单调递减区间是，令,得，故原函数的单调递减区间是.
（2）. .令,则.函数的单调递减区间是,令,，得,，故函数的单调递减区间是.
规律方法与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:（1）结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;（2）确定函数单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将看作一个整体,可令“”,即通过求的单调区间求出原函数的单调区间.若,则先利用诱导公式将的系数转变为正数.
变式训练1求函数的单调递增区间. 解.令,,得,,所以该函数的单调递增区间是.
探究点二 单调性在三角函数中的应用角度1.利用单调性比较三角函数值的大小【例2】 比较下列各组数的大小:（1）与； 解,.在上是单调递增的,,即.
（2）与. ,.,且在上是单调递减的,,即.
角度2.已知三角函数的单调情况求参数【例3】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是() DA.B.C.D. [解析]令,,因为,所以,.因为函数在区间上单调递减，所以且,
所以.由题可知,即,又,所以且,解得.又,所以,所以.故实数的取值范围为.
规律方法 比较三角函数值大小的方法 （1）通常利用诱导公式化为锐角三角函数值; （2）不同名的函数化为同名函数; （3）自变量不在同一单调区间的化至同一单调区间.
变式训练2（1） 比较大小:①与; 解,.函数在上单调递减，且,，,.
②与. ,,在区间上单调递减，,即.
（2）已知,函数在上单调递减,求的取值范围. 解由,,得,由题意知,,,解得,.,.又,解得,的取值范围为.
探究点三 与三角函数有关的函数的值域问题角度1.利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大（小）值【例4】 求下列函数的值域：（1）,; 解,.令,易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且,,,,，函数的值域为.
（2）. 时，,函数的值域为.
角度2.化为或型的函数求值域或最大（小）值 【例5】求使下列函数取得最大值和最小值时的的值，并求出函数的最大值和最小值： （1）; 解.因为,所以当，即,时，函数取得最小值,;当，即,时，函数取得最大值,.
（2）; .因为,所以当,即,或,时，函数取得最大值，;当，即,时，函数取得最小值，.
（3）,. .因为,所以,所以当，即时，函数取得最大值，;当，即时，函数取得最小值，.
角度3.分离常数法求值域或最大（小）值【例6】求函数的值域. 解.因为,所以,所以,所以,所以函数的值域为.
规律方法与三角函数有关的函数的值域（或最大（小）值）的求解思路（1）求形如的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解.（2）对于形如的函数，当定义域为时，值域为;当定义域为某个给定的区间时，需确定的范围，再结合函数的单调性确定值域.
（3）求形如,,的函数的值域或最大（小）值时，可以通过换元，令，将原函数转化为关于的二次函数，利用配方法求值域或最大（小）值，求解过程中要注意正弦函数的有界性.（4）求形如,的函数的值域，可以用分离常数法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于的不等式反解出.
变式训练3（1）函数的最大值为___,此时自变量的取值集合为____________________. 7<m></m> [解析]当,,即,时,.
（2）已知,且,求的最大值和最小值. 解令,,因为,所以,即，所以，故当时,函数取得最小值1；当时,函数取得最大值.
（3）已知函数. ①求函数的最小正周期； 解,函数的最小正周期. ②求函数在区间上的值域. ,,,,即的值域为.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第一册 5.4.2正弦函数余弦函数的性质第2课时单调性值域 课件
