第二章 平面向量及其应用§5 从力做的功到向量的数量积
课时2 数量积的运算性质
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．（数学抽象） 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．（数学运算）
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上一节我们学习了平面向量的数量积，平面向量的数量积的结果是数量.向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容丰富，有广泛的应用． 阅读教材，结合上一节学习的内容回答下列问题:1.平面向量的数量积的定义是什么？[答案] <m></m> .
2.类比实数运算的消去律 <m></m> ，在向量中, <m></m> 成立吗？ [答案] 不成立.1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）向量 <m></m> 在向量 <m></m> 上的投影向量一定与 <m></m> 共线.( ) √（2）若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为钝角.( ) ×（3）向量的数量积运算满足 <m></m> .( ) ×（4）已知 <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> .( ) ×
2.设 <m></m> 和 <m></m> 是互相垂直的单位向量，且 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B[解析] 因为 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> .
3.（多选题）已知两个单位向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角为 <m></m> ，则下列结论正确的是( ). A. <m></m> 在 <m></m> 方向上的投影向量为 <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> ABC[解析] 因为两个单位向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角为 <m></m> ， 所以 <m></m> ，则 <m></m> 在 <m></m> 方向上的投影向量为 <m></m> ，故A正确； <m></m> ，故B正确； <m></m> ，故 <m></m> ，故C正确； <m></m> ，故D错误.
4.已知向量 <m></m> ， <m></m> 满足 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为_ __. <m></m> [解析] <m></m> ，设向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ， 则 <m></m> ，又 <m></m> ，所以 <m></m> .
探究1 向量数量积的运算律 小明学习了向量数量积的运算后，根据实数的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如表所示.运算律实数乘法平面向量数量积交换律 <m></m> <m></m> 结合律 <m></m> <m></m> <m></m> 分配律 <m></m> <m></m> 运算律实数乘法平面向量数量积交换律结合律分配律
问题1：表中这些结果正确吗？[答案] 除结合律中的 <m></m> 是错误的，其他都是正确的. <m></m> ，因为 <m></m> ， <m></m> 是数量积，是实数，不是向量，所以 <m></m> 与向量 <m></m> 共线， <m></m> 与向量 <m></m> 共线.因此， <m></m> 在一般情况下不成立． 问题2：如何证明 <m></m> ？ [答案] 当 <m></m> 时， <m></m> 与 <m></m> 的夹角和 <m></m> 与 <m></m> 的夹角相同．因为 <m></m> ， <m></m> .同理，当 <m></m> 时， <m></m> 成立．所以 <m></m> ．
新知生成1.向量数量积的运算律（1） <m></m> ． （2） <m></m> ． （3） <m></m> ． 2.多项式的乘法公式（1） <m></m> . （2） <m></m> .
注意：① <m></m> ，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．② <m></m> 与 <m></m> 也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．③用 <m></m> 求两向量的夹角，且夹角的取值与 <m></m> 的符号有关．
新知运用一、数量积的运算例1 （1）已知向量 <m></m> 与 <m></m> 满足 <m></m> ， <m></m> ，且向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ,求 <m></m> ． （2）在 <m></m> 中，已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> ． 方法指导 （1）根据向量数量积的定义、性质、运算律进行解答；（2）先由向量的线性运算求得 <m></m> ，再结合向量数量积运算即可得解．
[解析] （1）因为 <m></m> ， <m></m> ，且向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以 <m></m> <m></m> ．（2）由 <m></m> ，则 <m></m> ，又 <m></m> ，所以 <m></m> ，又 <m></m> ，所以 <m></m> ，即 <m></m> ．
&1& 向量数量积的求法 （1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. （2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
二、与向量模有关的运算例2 已知 <m></m> ，向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> ． 求：（1） <m></m> ， <m></m> ; （2） <m></m> . 方法指导 应用 <m></m> 求向量的模． [解析] （1）由题意知， <m></m> ．因为 <m></m> ，所以 <m></m> ．同理，因为 <m></m> ，所以 <m></m> .（2） <m></m> ．
&2& 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 <m></m> ，勿忘记开方; （2） <m></m> 或 <m></m> ，此性质可用
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 数量积的运算性质 课件
