第3章圆锥曲线 综合检测-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册章节复习1

第三章圆锥曲线综合检测卷 一、单选题 1 ．已知双曲线的渐近线为 ，且过点 ，则该双曲线的标准方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 2 ．椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 ， 的连线相互垂直，则 的面积为（ ） A ． 49 B ． 24 C ． 12 D ． 7 3 ．以抛物线 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．已知点 ，直线 ，点 是 上的动点 . 若过 垂直于 轴的直线与线段 的垂直平分线交于点 ，则点 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 5 ．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆相交于 、 两点 . 若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知双曲线 ( ) 的左､右焦点分别为 ､ ，点 在双曲线的左支上，且 ，则此双曲线的离心率的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 7 ．若圆 与双曲线 （ ， ）的一条浙近线相切，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 8 ．若曲线 C 上存在点 M ，使 M 到平面内两点 ， 距离之差的绝对值为 8 ，则称曲线 C 为 “ 好曲线 ” ．以下曲线不是 “ 好曲线 ” 的是（ ） A ． B ． C ． D ． 9 ．已知椭圆 ，长轴在 轴上，若焦距为 4 ，则 m 等于（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 7 D ． 8 10 ．虚轴长为 2 ，离心率 的双曲线两焦点为 ， ，过 作直线交双曲线的一支于 、 两点，且 ，则 的周长为（ ） A ． 3 B ． 16+ C ． 12+ D ． 24 11 ．如图，圆 上一动点 M ，抛物线 上一动点 ，则 的最小值为（ ） A ． 1 B ． 3 C ． 4 D ． 6 12 ．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的个数是（ ） ① 与 共轭的双曲线是 ； ② 互为共轭的双曲线渐近线不相同； ③ 互为共轭的双曲线的离心率为 ，则 ； ④ 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 二、填空题 13 ．已知双曲线的方程为 ，则焦点到渐近线的距离为 _________ . 14 ．已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 ________ . 15 ．设 F 为抛物线 的焦点， A 、 B 、 C 为该抛物线上三点，若 F 是三角形 的重心，则 _________ ． 16 ．设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若在双曲线的右支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是 ____ . 三、解答题 17 ．已知抛物线 经过点 ， F 为抛物线的焦点，且 ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）点 Q 为抛物线 C 上一动点，点 M 为线段 的中点，试求点 M 的轨迹方程． 18 ．设点 是椭圆 上一动点，椭圆的长轴长为 ，离心率为 . (1) 求椭圆 的方程； （ 2 ）求点 到直线 距离的最大值 . 19 ．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，双曲线 与 共焦点，点 在双曲线 上． （ 1 ）求双曲线 的方程： （ 2 ）已知点 P 在双曲线 上，且 ，求 的面积． 20 ．椭圆 E 与 有共同的焦点，且经过点 （ 1 ）求椭圆 E 的标准方程和离心率； （ 2 ）设 F 为 E 的左焦点， M 为椭圆 E 上任意一点，求 的最大值 . 21 ．如图，已知圆 ，点 ， P 是圆 上的一动点， N 是 上一点， M 是平面内一点，满足 ， ． （ 1 ）求点 N 轨迹 的方程； （ 2 ）若 均为轨迹 上的点，且以 为直径的圆过 Q ，求证：直线 过定点． 22 ．已知椭圆 的左、右焦点分别为 . 点 在椭圆 上滑动，若 的面积取得最大值 4 时，有且仅有 2 个不同的点 使得 为直角三角形． （ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）过点 的直线 与椭圆 分别相交于 两点，与 轴交于点 . 设 ， ，求证： 为定值，并求该定值． 参考答案 1 ． B 【分析】 按照焦点在 轴、 轴讨论，由渐近线方程及椭圆过的点运算即可得解 . 【详解】 当双曲线的焦点在 轴上，设双曲线的方程为 ， 则渐近线方程为 ，即 ， 所以双曲线方程为 ，所以 ，解得 ， 所以双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在 轴上，设双曲线的方程为 ， 则渐近线方程为 ，即 ， 所以双曲线方程为 ，所以 ，不合题意； 所以该双曲线的标准方程为 . 故选： B. 2 ． B 【分析】 先利用椭圆定点得 ，再结合勾股定理得 ，再计算面积即可 . 【详解】 由定义得 ，即 ， 又 ，即得 ，即 . 故 . 故选： B . 3 ． A 【分析】 求出抛物线的焦点坐标即圆心坐标，求得圆半径可得圆方程． 【详解】 抛物线的标准方程是 ，焦点为 ， ， 所以圆方程为 ，即 ． 故选： A ． 4 ． D 【分析】 根据垂直平分线的定义可得出点 到直线 的距离等于 ，利用抛物线的定义可得出结果 . 【详解】 连接 ，由中垂线性质知 ，即 到定点 的距离与它到直线 距离相等 . 因此，点 的轨迹是抛物线 . 故选： D. 5 ． C 【分析】 根据 ，得到 ，根据点 到直线 距离 ，求出 ，从而求出 得范围，从而求出答案 . 【详解】 设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示： 由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则 又 四边形 为平行四边形 又 ，解得： 点 到直