新知初探·课前预习
[教材要点]要点一 直线方程的两点式如图，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程______________________称为直线方程的两点式．＝(x1≠x2，y1≠y2)
状元随笔 直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．
要点二 直线方程的截距式如图，直线l经过点A(a，0)，B(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程________称为直线方程的截距式．＝1
状元随笔 ①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( )(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同．( )(3)截距相等的直线都可以用方程＝1表示．( )(4)不经过原点的直线都可以用＝1表示．( ) ××××
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是( )A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：由直线的两点式方程，得＝，化简：得x－y－1＝0.故选D. 答案：D
3．如图，直线l的截距式方程是＝1，则( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 解析：M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.答案：B
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．解析：直线方程为＝，化为截距式为＝1，则在x轴上的截距为－. 答案：－
题型探究·课堂解透
题型一 直线方程的两点式及其应用例1 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．解析：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，其方程为x＝2，∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0故三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为：x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
方法归纳求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
跟踪训练1 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．解析：由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.答案：x＝2
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．答案：－2解析：由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
题型二 直线方程的截距式及其应用例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解析：方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝||，解得k＝1或k＝－1或k＝－.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
方法归纳截距式方程应用的注意事项1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．3．要注意截距式直线方程的逆向应用．
跟踪训练2 求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝x；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为＝1，将点(5，2)代入方程得＝1，解得a＝，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
易错辨析 忽视截距为零引发的错误例3 求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．解析：当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝x.当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＝1，把点M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y－5＝0.综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
【易错警示】易错原因纠错心得“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线方程的两点式 课件
