2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）（全解析版）

2021 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 　　 A ．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 B ．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3 ．已知 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9 ，则其视力的小数记录法的数据约为 　　 A ． 1.5 B ． 1.2 C ． 0.8 D ． 0.6 5 ．已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ， ， ．该正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ，乙： 是递增数列，则 　　 A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8 ． 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位： ，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 ， ， 三点，且 ， ， 在同一水平面上的投影 ， ， 满足 ， ．由 点测得 点的仰角为 ， 与 的差为 100 ；由 点测得 点的仰角为 ，则 ， 两点到水平面 的高度差 约为 　　 A ． 346 B ． 373 C ． 446 D ． 473 9 ．若 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 ， ， 是半径为 1 的球 的球面上的三个点，且 ， ，则三棱锥 的体积为 　　 A ． B ． C ． D ． 12 ．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 ， 时， ．若 （ 3 ） ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．曲线 在点 处的切线方程为 　　 ． 14 ．已知向量 ， ， ．若 ，则 　　 ． 15 ．已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 　　 ． 16 ．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数 为 　　 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （ 1 ）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （ 2 ）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18 ．（ 12 分）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19 ．（ 12 分）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？ 20 ．（ 12 分）抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且 ．已知点 ，且 与 相切． （ 1 ）求 ， 的方程； （ 2 ）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由． 21 ．（ 12 分）已知 且 ，函数 ． （ 1 ）当 时，求 的单调区间； （ 2 ）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （ 1 ）将 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2 ）设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，点 满足 ，写出 的轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10