9.2.3 总体集中趋势的估计9.2.4 总体离散程度的估计
微课1 平均数、中位数、众数 思考： 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
思考1：该市某小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ 思考2：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数，但在录入数据不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数. 中位数没有变化，还是6.6t
思考3:并与真实的样本平均数和中位数作比较。哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？ 平均数由原来的8.79t变为9.483t,中位数没有变化.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变,因此,与中位数较,平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感.
微课2：中位数和平均数的大小与数据分布形态的关系思考：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系? （1） 单峰，直方图形状对称： （2） 右边“拖尾”： （3） 左边“拖尾”： 结论：和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
例1：某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格，据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示，校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.分析：虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的 类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较 合适.
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据（下图)可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
微课3：由频率分布直方图估计平均数、中位数、众数思考:样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设它们在组内均匀分布，这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.
例2 你能以下图居民用水的频率分布直方图提供的信息，估计出样本的平均数、中位数和众数吗?
1.由频率分布直方图估计平均数
2.由频率分布直方图估计中位数
取最高矩形下端中点的横坐标5.7作为众数. 3.由频率分布直方图估计众数
类题通法(知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)(1)众 数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个 面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横 坐标与小矩形的面积的乘积之和．
变式训练 如图为学生身高频率分布直方图.(1)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出众数的值?(2)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出中位数的值?(3)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值?(4)从样本数据可知,该样本的众数是166 cm,172 cm,中位数是171 cm,平均数是170.1 cm,这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗?
解:(1)众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高小长方形的中点的横坐标.由直方图可估计学生身高众数应为174.5 cm.(2)在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数使得在它左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值,如图,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位数落在区间[167,172)内.设中位数是x,由0.08+0.22+(x-167)× =0.5,解得x≈171.55.所以学生身高的中位数约为171.55 cm.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,是频率分布直方图的平衡点,因此,每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得学生身高的平均数为170.6 cm.(4)因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布
2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度的估计(课件)
