2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.3　第二课时　平面与平面平行的性质（学案）

8.5.3 　 第二课时　平面与平面平行的性质 新课程标准解读 核心素养 1. 借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理 2. 能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题 直观想象 　　 当平面 α ∥ 平面 β 时， α 与 β 没有公共点，此时，若 l ⊂ α ， m ⊂ β ，则 l ∩ m ＝ ⌀ ，这就是说， l 与 m 的位置关系是异面或平行 . 问题 　那么在什么情况下， l 与 m 平行呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 两个平面平行的性质定理 文字 语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 　平行　 符号 语言 α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ⇒ 　 a ∥ b 　 图形 语言 提醒 　 （ 1 ）用该定理判断直线 a 与 b 平行时，必须具备三个条件： ① 平面 α 和平面 β 平行，即 α ∥ β ； ② 平面 γ 和 α 相交，即 α ∩ γ ＝ a ； ③ 平面 γ 和 β 相交，即 β ∩ γ ＝ b . 以上三个条件缺一不可 . （ 2 ）在应用这个定理时，要防止出现 “ 两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线 ” 的错误 . 1. 已知长方体 ABCD - A'B'C'D' ，平面 α ∩ 平面 ABCD ＝ EF ，平面 α ∩ 平面 A'B'C'D' ＝ E'F' ，则 EF 与 E'F' 的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 解析： A 　 因为平面 ABCD ∥ 平面 A'B'C'D' ，所以 EF ∥ E'F' . 故选 A. 2. 已知直线 m ， n ，平面 α ， β ，若 α ∥ β ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则直线 m 与 n 的关系是（　　） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 解析： D 　 ∵ α ∥ β ， ∴ α 与 β 无公共点，又 m ⊂ α ， n ⊂ β ， ∴ m 与 n 无公共点， ∴ m 与 n 平行或异面 . 3. 如图，平面 α ∥ 平面 β ， △ PAB 所在的平面与 α ， β 分别交于 CD ， AB ，若 PC ＝ 2 ， CA ＝ 3 ， CD ＝ 1 ，则 AB ＝ 　　　　　 .   解析： ∵ 平面 α ∥ 平面 β ， α ∩ 平面 PAB ＝ CD ， β ∩ 平面 PAB ＝ AB ， ∴ CD ∥ AB ，则 ＝ ， ∴ AB ＝ ＝ ＝ . 答案： 题型一 两平面平行性质定理的应用 【例 1 】 　如图，在三棱锥 P - ABC 中， D ， E ， F 分别是 PA ， PB ， PC 的中点， M 是 AB 上一点，连接 MP ， MC ， N 是 PM 与 DE 的交点，连接 FN ，求证： FN ∥ CM . 证明 　 因为 D ， E 分别是 PA ， PB 的中点，所以 DE ∥ AB . 又 DE ⊄ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以 DE ∥ 平面 ABC ， 同理 DF ∥ 平面 ABC ，且 DE ∩ DF ＝ D ， 所以平面 DEF ∥ 平面 ABC . 又平面 PCM ∩ 平面 DEF ＝ FN ，平面 PCM ∩ 平面 ABC ＝ CM ，所以 FN ∥ CM . 通性通法 应用面面平行性质定理的基本步骤 如图，在四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为梯形， AD ∥ BC ，平面 A 1 DCE 与 B 1 B 交于点 E . 求证： EC ∥ A 1 D . 证明： 易知 BE ∥ AA 1 ， AA 1 ⊂ 平面 AA 1 D ， BE ⊄ 平面 AA 1 D ，所以 BE ∥ 平面 AA 1 D . 因为 BC ∥ AD ， AD ⊂ 平面 AA 1 D ， BC ⊄ 平面 AA 1 D ， 所以 BC ∥ 平面 AA 1 D . 又 BE ∩ BC ＝ B ， BE ⊂ 平面 BCE ， BC ⊂ 平面 BCE ， 所以平面 BCE ∥ 平面 AA 1 D ， 又平面 A 1 DCE ∩ 平面 BCE ＝ EC ， 平面 A 1 DCE ∩ 平面 AA 1 D ＝ A 1 D ， 所以 EC ∥ A 1 D . 题型二 与两平面平行的性质定理有关的计算 【例 2 】 　设平面 α ∥ 平面 β ， A ， C ∈ α ， B ， D ∈ β ，直线 AB 与 CD 交于点 S ，且 S 位于平面 α ， β 之间， AS ＝ 8 ， BS ＝ 6 ， CS ＝ 12 ，求 SD 的长 . 解　 根据题意作出图形， ∵ AB ， CD 交于点 S ， ∴ AB 与 CD 确定一个平面， 又 ∵ 平面 α ∥ 平面 β ， ∴ AC ∥ DB ， ∴ △ SAC ∽△ SBD ， ∴ ＝ ， ∵ AS ＝ 8 ， BS ＝ 6 ， CS ＝ 12 ， ∴ ＝ ， ∴ SD ＝ 9. 通性通法 关于平行平面分线段成比例定理 　　 类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理 . 1. 如图所示， P 是 △ ABC 所在平面外一点，平面 α ∥ 平面 ABC ， α 分别交线段 PA ， PB ， PC 于 A' ， B' ， C' ，若 PA' ∶ AA' ＝ 2 ∶ 3 ，则 S △ A'B'C' ∶ S △ ABC ＝ 　　　　　 .   解析： ∵ 平面 α ∥ 平面 ABC ，平面 PAB 与它们的交线分别为 A'B' ， AB ， ∴ AB ∥ A'B' ，同理 B'C' ∥ BC ，易得 △ ABC ∽△ A'B'C' ， S △ A'B'C' ∶ S △ ABC ＝（ ） 2 ＝（ ） 2 ＝ . 答案： 2. 如图，已知平面 α ∥ 平面 β ， P ∉ α 且 P ∉ β ，过点 P 的直线 m 与 α ， β 分别交于 A ， C ，过点 P 的直线 n 与 α ， β 分别交于 B ， D ，且 PA ＝ 6 ， AC ＝ 9 ， PD ＝ 8 ，求 BD 的长 . 解： ∵ α ∥ β ，平面 PCD ∩ α ＝ AB ，平面 PCD ∩ β ＝ CD ， ∴ AB ∥ CD ，可得 ＝ . ∵ PA ＝ 6 ， AC ＝ 9 ， PD ＝ 8 ， ∴ ＝ ，解得 BD ＝ . 题型三 线线、线面、面面平行的转化 【例 3 】 　如图，已知四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， M ， N 分别是棱 AB ， PC 的中点，平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE .