1.5 基本不等式(导学讲义）高考数学一轮复习讲义

1 . 5 　基本不 等式 掌握基本不等式 ≤ ( a ， b ≥ 0 ). 结合具体实例 ， 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 . 【教材梳理】 1 . 基本不等式 如果 a >0 ， b >0 ，那么 ≤ ， 当且仅当 a ＝ b 时 ， 等号成立 . 该式叫基本不等式 ， 其中 ， 叫做正数 a ， b 的算术平均数 ， 叫做正数 a ， b 的几何平均数 . 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数 . 2 . 几个重要不等式 重要不等式 使用前提 等号成立条件 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab a ， b ∈ R a ＝ b ＋ ≥ 2 ab >0 a ＝ b ＋ ≤ － 2 ab <0 a ＝－ b ab ≤ a ， b ∈ R a ＝ b ≤ a ， b ∈ R a ＝ b 　　 3. 基本不等式求最值 (1) 设 x ， y 为正数 ， 若积 xy 等于定值 P ， 那么当 x ＝ y 时 ， 和 x ＋ y 有最小值 2 ( 简记为：积定和最小 ). (2) 设 x ， y 为正数 ， 若和 x ＋ y 等于定值 S ， 那么当 x ＝ y 时 ， 积 xy 有最大值 S 2 ( 简记为：和定积最大 ). 【常用结论】 4 . 常用推论 (1)( a ＋ b ) 2 ≤ 2 ( a 2 ＋ b 2 ). (2) a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ ab ＋ bc ＋ ac . (3)|2 ab |≤ a 2 ＋ b 2 ⇔ － ( a 2 ＋ b 2 )≤2 ab ≤ a 2 ＋ b 2 . (4) ≤ ≤ ≤ ( a >0 ， b >0 ). 即有：正数 a ， b 的调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数 . 5 . 三元均值不等式 (1) ≥ . (2) ≥ abc . 以上两个不等式中 a ， b ， c ∈ R ， 当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立 . 6 . 二维形式柯西不等式： 若 a ， b ， c ， d 都是实数 ， 则 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 )≥( ac ＋ bd ) 2 ， 当且仅当 ad ＝ bc 时 ， 等号成立 . 判断下列命题是否正确 ， 正确的在括号内画 “√” ， 错 误的画“×” . (1) ∀ a ， b ∈ R ， ( a ＋ b ) 2 ≥ 4 ab . ( 　　 ) (2) a ≥0 ， b ≥ 0 ， 则 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 . ( 　　 ) (3) 函数 y ＝ x ＋ 的最小值是 2. ( 　　 ) (4) 函数 y ＝ cos x ＋ ， x ∈ 的最小值等于 4. ( 　　 ) ( 5)“ x >0 且 y >0” 是 “ ＋ ≥ 2 ” 的充分不必要条件 . ( 　　 ) ( 教材改编 ) 已知 a ， b ∈ (0 ， 1 ) 且 a ≠ b ， 下列各式中最大的是 ( 　　 ) A. a 2 ＋ b 2 B. 2 C. 2 ab D. a ＋ b ( 教材习题改编 ) 设 x >0 ， 则 3 － 3 x － 的最大值是 ( 　　 ) A. 3 B. 3 － 2 C. － 1 D . 3 － 2 ( 教材改编 ) 点 ( m ， n ) 是一次函数 y ＝ 1 － x 图象上一动点 ， 则 2 m ＋ 2 n 的最小值是 __________ . 考点一　利用基本不等式求最值 命题角度 1 　直接求最值 已知 a >0 ， b >0 ， 且 4 a ＋ b ＝ 1 ， 则 ab 的最大值为 __________ . (2022 河北武强中学高三月考 ) 直角边之和为 12 的直角三角形面积的最大值为 ( 　　 ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 不能确定 命题角度 2 　配凑法求最值 　　 (1)(2021 届长沙雅礼中学高一月考 ) 已知 x >2 ， 则函数 f ( x ) ＝ x ＋ 的最小值为 ( 　　 ) A . 2 ＋ B. 2 ＋ 2 C. 2 D. 2 (2) 已知 a >0 ， b >0 ， 则 ＋ 的最小值为 __________ . (1) 已知 x < ， 则 f ( x ) ＝ 4 x － 2 ＋ 的最大值为 ( 　　 ) A. 0 　 　 　　 B . 1 　　 C. 3 　　 　　 D . 5 (2)(2020 年辽宁六校高一月考 ) 若 0< x < ， 则 y ＝ x 的最大值为 ( 　　 ) A. 1 B. C. D. (3) 函数 y ＝ ( x >1) 的最小值为 __________ . 命题角度 3 　常数代换求最值 (1)(2020 届山东滨州高三 9 月期初考试 ) 已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 且 2 a ＋ b ＝ ab ， 则 2 a ＋ b 的最小值为 __________ . (2) 已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调函数 ， 若正实数 a ， b 满足 f (2 a ) ＋ f ( b － 4) ＝ 0 ， 则 ＋ 的最小值是 ( 　　 ) A. B. C. 2 D. 4 (1) 若直线 l ： ax － by ＋ 2 ＝ 0( a >0 ， b >0 ) 过点 ( － 1 ， 2 ) ， 当 ＋ 取最小值时直线 l 的斜率为 ( 　　 ) A. 2 B. C. D. 2 (2)(2021 届苏州高三期初调研 ) 设 a >0 ， b >0 ， 且 2 a ＋ b ＝ 1 ， 则 ＋ ( 　　 ) A. 有最小值为 4 B . 有最小值为 2 ＋ 1 C. 有最小值为 D. 无最小值 命题角度 4 　换元法求最值 (2020 届辽宁黑山中学高三模拟 ) 已知实数 x ， y 满足 x 2 － xy ＋ y 2 ＝