一、解析法【问题思考】1.某种签字笔的单价为6元,购买的支数为x,所花费用为y,则购买签字笔的支数x与所花费用y之间存在怎样的函数关系?y与x的关系能否用一个式子表示?提示:正比例函数关系,能用一个式子表示,即y=6x(x∈N).
2.抽象概括:如果一个函数能用解析法表示出来,也就能较便利地利用代数工具研究其性质,如初中学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的.3.想一想:若已知函数的类型,求函数的解析式通常用什么方法?提示:若已知函数的类型,常用待定系数法求解.
二、列表法【问题思考】1.下表反映的是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系.请根据上表回答下面的问题.(1)表格中两变量存在函数关系吗?(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么?
提示:(1)存在,它表示氰化物浓度是与污染源距离的函数.(2)自变量的取值集合为{50,100,200,300,500},值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}.
2.填空:列表法直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出了两个变量之间的对应值,非常直观.但任何一个表格内标出的数都是有限个,也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若自变量有无限多个数,则只能给出局部的对应关系.
三、图象法【问题思考】1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线,根据图象回答下面的问题:
(1)图中的曲线能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,自变量是什么?(2)图中的函数关系能用解析式表示吗?提示:(1)能,表示某省本科一批(理科)分数线是年份的函数,其中年份为自变量.(2)不能,因为自变量年份与某省本科一批(理科)分数线的对应关系比较复杂.
2.填空:图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律.但很多函数,图象是近似的,很难由图象得到每个自变量取值对应的精确函数值.另外,并非所有的函数都能用图象表示.提示:不能.
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数的图象一定是连续不断的曲线.( × )(2)函数的解析式是唯一的.( × )(3)分段函数是由多个函数组成的.( × )(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集.( × )
探究一 画函数的图象【例1】 画出下列函数的图象.(1)y=x+1(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,如图(1)所示.(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图(2)所示.(1) (2)
1.画函数图象主要有三步:列表、描点、连线.画图象时一般应先确定函数的定义域,然后在定义域内化简函数解析式,最后列表、描点画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,一元二次函数图象的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【变式训练1】 画出下列函数的图象.(1)y=x+1(x≤0);(2)y=x2-2x(x>1,或x<-1).
解:(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1)所示.(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后的曲线.如图(2)所示. (1) (2)
探究二 列表法表示函数【例2】 已知函数f(x),g(x)分别由下面两个表格给出:则f(g(1))的值为 ,满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 .
解析:∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.答案:1 2
解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解,应从内到外逐层解决,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决.
【变式训练2】 已知函数f(x),g(x)分别由下面两个表格给出:(1)f(g(1))= ; (2)若g(f(x))=2,则x= .
解析:(1)由题表知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1.(2)由题表知g(2)=2,又g(f(x))=2,∴f(x)=2,又由题表知当x=1时,f(x)=2,∴x=1.答案:(1)1 (2)1
探究三 求函数的解析式【例3】 若一元二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=0的一个根为x=1,求函数f(x)的解析式.分析:由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为x=1建立关于b,c的关系式求解.解:由f(2)=f(-2),得22+2b+c=(-2)2-2b+c,得b=0. ①又f(x)=0的一个根为x=1,即x2+bx+c=0的一个根为x=1,则b+c+1=0. ②由①②得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.
1.本例中若将条件“f(2)=f(-2)”改为“f(0)=2”,求f(x)的解析式.解:由f(0)=2,得c=2.又f(x)=0的一个根为1,即x2+bx+c=0的一个根为1,则b+c+1=0,所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.2.本例条件不变,求f(x+1)的解析式.解:由例3的解知,f(x)=x2-1,故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.
3.已知f(x+1)=x2-1,求f(x)的解析式.解法1:设t=x+1,则x=t-1,因为f(x+1)=x2-1,所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.解法2:因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),所以f(x)=x2-2x,即f(x)的解析式是f(x)=x2-2x.
求函数的解析式的方法(1)如果已知函数类型,可以用待定系数法.(2)如果已知f(g(x))的解析式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))中每一个x都换成t的
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的表示法 (课件)
