2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 学案

6 ． 3.4 　平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 1. 掌握两数乘向量的坐标运算法则． 2 ．理解用坐标表示两向量共线的条件． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　平面向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若 a ＝ ( x ， y ) ，则 λ a ＝ ________ 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ________ ． 要点二　平面向量共线的坐标表示 　设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，其中 b ≠0 ， a ， b 共线的充要条件是存在实数 λ ，使 a ＝ λ b . 如果用坐标表示，向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 )( b ≠0) 共线的充 要条件是 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0. 助 学 批 注 批注　向量共线的坐标形式极易写错，如写成 x 1 y 1 － x 2 y 2 ＝ 0 或 x 1 x 2 － y 1 y 2 ＝ 0 都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减． 夯 实 双 基 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 若向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，且 a ∥ b ，则 ＝ .( 　　 ) (2) 若向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，且 x 1 y 1 － x 2 y 2 ＝ 0 ，则 a ∥ b .( 　　 ) (3) 若向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，且 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 ，则 a ∥ b .( 　　 ) (4) 已知 A ( － 6 ， 10) ， B (0 ， 2) ，则线段 AB 的中点坐标为 ( － 3 ， 6) ． ( 　　 ) 2 ．已知向量 a ＝ (2 ， 4) ， b ＝ ( － 1 ， 1) ，则 2 a － b ＝ ( 　　 ) A ． (5 ， 7) B ． (5 ， 9) C. (3 ， 7) D ． (3 ， 9) 3 ．已知 a ＝ ( － 6 ， 2) ， b ＝ ( m ，－ 3) ，且 a ∥ b ，则 m ＝ ( 　　 ) A ．－ 9 B ． 9 C. 3 D ．－ 3 4 ．已知 A (1 ， 2) ， B (4 ， 5) ．若 ＝ 2 ， 则点 P 的坐标为 ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　平面向量数乘运算的坐标表示 例 1 　已知 A ( － 2 ， 4) ， B (3 ，－ 1) ， C ( － 3 ，－ 4) ．设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，且 ＝ 3 c ， ＝－ 2 b . (1) 求 3 a ＋ b － 3 c ； (2) 求满足 a ＝ m b ＋ n c 的实数 m ， n . 题后师说 平面向量数乘坐标运算的策略 巩固训练 1 　 (1) 已知向量 a ＝ (1 ， 2) ， 2 a ＋ b ＝ (3 ， 2) ，则 b ＝ ( 　　 ) A ． (1 ，－ 2) 　　 B ． (1 ， 2) C ． (5 ， 6) D ． (2 ， 0) (2) 已知向量 ＝ (2 ， 4) ， ＝ (0 ， 2) ，则 ＝ ( 　　 ) A ． ( － 2 ，－ 2) B ． (2 ， 2) C ． (1 ， 1) D ． ( － 1 ，－ 1) 题型 2 　向量共线的判定 例 2 　 (1)( 多选 ) [2022· 山东日照高一期末 ] 下列各组向量中，可以作为基底的是 ( 　　 ) A ． e 1 ＝ (0 ， 0) ， e 2 ＝ (1 ，－ 2) B ． e 1 ＝ (0 ， 2) ， e 2 ＝ ( ， 0) C ． e 1 ＝ (3 ， 5) ， e 2 ＝ (5 ， 3) D ． e 1 ＝ (1 ， 3) ， e 2 ＝ ( － 2 ，－ 6) (2) 已知 A (2 ， 1) ， B (0 ， 4) ， C (1 ， 3) ， D (5 ，－ 3) ，判断 与 是否 共线，如果共线，它们的方向相同还是相反？ 题后师说 向量共线的判定应充分利用向量共 线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共 线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 巩固训练 2 　 已知两点 A (2 ，－ 1) ， B (3 ， 1) ，则与 平行且方向相反的向量 a 可以是 ( 　　 ) A ． (1 ，－ 2) 　 B ． (9 ， 3) C ． ( － 2 ， 4) 　 D ． ( － 4 ，－ 8) 题型 3 　利用向量共线的坐标表示求参数 例 3 　 [2022· 湖北高一期中 ] 已知向量 a ＝ (2 ， 1) ， b ＝ (3 ， 2) ． (1) 当 k 为何值时， k a － b 与 a ＋ 2 b 共线； (2) 若 ＝ 2 a ＋ 3 b ， ＝ a ＋ m b 且 A 、 B 、 C 三点共线，求实数 m 的值． 题后师说 利用向量共线的坐标表示求参数的策略 巩固训练 3 　 (1) [2022· 河北张家口高一期末 ] 已知向量 a ＝ ( t ， 2 － t ) ， b ＝ (1 ， t ) ，若 a ∥ b ， a ≠ b ，则 t ＝ ( 　　 ) A ． 2 B ． 1 C ．－ 1 D ．－ 2 (2) [2022· 广东广州高一期末 ] 已知 ＝ (4 ，－ 4) ， ＝ ( － 3 ， 2) ， ＝ ( － 1 ， m ) ，若 A 、 C 、 D 三点共线，则 m ＝ ________ ． 6 ． 3.4 　平面向量数乘运算的坐标表示 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点一 ( λx ， λy ) 　相应坐标 [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 　 (4)√ 2 ． 解析： 2 a － b ＝ 2(2 ， 4) － ( － 1 ， 1) ＝ (4 ， 8) － ( － 1 ， 1) ＝ (5 ， 7) ． 答案： A 3 ． 解析： 因为 a ＝ ( － 6 ， 2) ， b ＝ ( m ，－ 3) ，若 a ∥ b ，则－ 6 × ( － 3) － 2 m ＝ 0 ，解得 m ＝ 9. 答案： B 4 ． 解析： 设 P ( x ， y ) ，所以 ＝ ( x － 1 ， y － 2) ， ＝ (4 － x ， 5 － y ) ，又因为 ＝ 2 ， 所以 ( x － 1 ， y － 2) ＝ 2(4 － x ， 5 － y ) ， 即 解得 答案： (3 ， 4) 题