立体几何中的最值问题（讲义）高中数学专题复习

专题 17 立体几何中的最值问题 【压轴综述】 在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系 ( 主要是平行与垂直的位置关系 ) ，计算空间图形中的几何量 ( 主要是角与距离 ) 是两类基本问题． 在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值 . 从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法 ( 应用函数思想、应用基本不等式等 ) 两种，都需要我们 正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住 ，有关计算公式熟练掌握 . 一、涉及几何体切接问题最值计算 求解 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 等 . 通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题； 二 . 涉及角的计算最值问题 1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果． 2. 求异面直线所成角的步骤 : 一 平移 , 将两条异面直线平移成相交直线． 二 定角 , 根据异面直线所成角的定义找出所成角． 三 求角 , 在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角． 四 结论． 3. 线面角的计算：（ 1 ）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做 ---- 二证 ---- 三计算” . （ 2 ） 利用向量法求线面角的方法 ( i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ； ( ii ) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 ( 钝角时取其补角 ) ，取其余角就是斜线和平面所成的角 . 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧 . 【压轴典例】 例 1. （ 2018· 全国高考真题（理））已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 例 2. （全国高考真题（文））设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 例 3. （ 2017· 全国高考真题（理）） a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a ， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ① 当直线 AB 与 a 成 60° 角时， AB 与 b 成 30° 角； ② 当直线 AB 与 a 成 60° 角时， AB 与 b 成 60° 角； ③ 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45° ； ④ 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是 ________. （填写所有正确结论的编号） 例 4. （ 2017· 全国高考真题（理））如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O . D ， E ， F 为圆 O 上的点， △ DBC ， △ ECA ， △ FAB 分别是以 BC ， CA ， AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 △ DBC ， △ ECA ， △ FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥．当 △ ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积 ( 单位： cm 3 ) 的最大值为 ______ ． 例 5. （浙江高考真题（理））如图，在 ABC 中， AB=BC=2 ， ∠ABC=120°. 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD=DA ， PB=BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 例 6. （安徽芜湖一中高三开学考试）在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 的斜边 上． （ 1 ）求证：平面 平面 ； （ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦的最大值． 例 7. （ 2019· 深圳市高级中学高三月考（文））如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO ＝ OB ＝ 1. (1) 若 D 为线段 AC 的中点，求证： AC⊥ 平面 PDO ； (2) 求三棱锥 P － ABC 体积的最大值； (3) 若 ，点 E 在线段 PB 上，求 CE ＋ OE 的最小值． 例 8. （ 2016· 江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形状是正四棱柱 （如图所示），并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 4 倍 . （ 1 ）若 则仓库的容积是多少？ （ 2 ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当 为多少时，仓库的容积最大？ 【压轴训练】 1 ．（ 2019· 四川石室中学高三开学考试（文））在 中，已知 ， ， ， D 是边 AC 上一点，将 沿 BD 折起，得到三棱锥 ．若该三棱锥的顶点 A 在底