2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.3.2　二项式系数的性质 学案

6.3.2 　二项式系数的性质 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ．能够运用展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值解决问题． 2 ．会求二项式系数的和或某些项的系数的和 . 重点： 学会讨论二项式系数性质的一些方法． 难点： 求二项展开式系数的最大项，灵活运用二项式系数的性质解决相关问题． 核心素养： 数学运算、数学抽象 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　对称性 (1) 与首末两端 _ 等距离 __ 的两个二项式系数相等，即 C ＝ C . (2) 直线 r ＝ 将函数 f ( r ) ＝ C 的图象分成对称的两部分，是图象的对称轴． 　 知识点 2 　增减性与最大值 (1) 当 >1 ，即 k < 时， C 随 k 的增加而 _ 增大 __ ；当 k > 时， C 随 k 的增加而 _ 减小 __. (2) 当 n 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取最大值． 思考 1 ： (1) 二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ (2)C ， C ， C 之间有什么关系？ 提示： (1) 不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大． (2)C ＝ C ＋ C . 　 知识点 3 　各二项式系数的和 2 n ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C 思考 2 ： C ＋ C ＋ C ＋ … ＝？ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝？ 提示： C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n － 1 . 　 知识点 4 　杨辉三角的特点 (1) 在同一行中，每行两端都是 _ 1 __ ，与这两个 1 等距离的项的系数 _ 相等 __. (2) 在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它 “ 肩上 ” 两个数的 _ 和 __ ，即 C ＝ C ＋ C . 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　二项式系数的性质及应用 典例 1 　已知 (1 ＋ 2 x ) n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． [ 解析 ] 　 依通项公式知 T 6 ＝ C (2 x ) 5 ＝ C 2 5 x 5 ， T 7 ＝ C 2 6 x 6 . 因为两项的系数相等， 所以 C 2 5 ＝ C 2 6 ，解得 n ＝ 8. 因为 (1 ＋ 2 x ) 8 的展开式共 9 项， 所以二项式系数最大的项为中间那一项，即 T 5 ＝ C ·(2 x ) 4 ＝ 1 120 x 4 . 设第 k ＋ 1 项系数最大，则有 得 5 ≤ k ≤ 6. 所以 k ＝ 5 或 k ＝ 6. 即 T 6 ＝ C (2 x ) 5 ＝ 1 792 x 5 ， T 7 ＝ C (2 x ) 6 ＝ 1 792 x 6 为系数最大的项． [ 规律方法 ] 　 1. 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2 ．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 【对点训练】 ❶ 已知在 n 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56 ∶ 3. (1) 求展开式中的所有有理项； (2) 求展开式中系数绝对值最大的项； (3) 求 n ＋ 9C ＋ 81C ＋ … ＋ 9 n － 1 C 的值． [ 解析 ] 　 (1) 由 C ( － 2) 4 ∶ C ( － 2) 2 ＝ 56 ∶ 3 解得 n ＝ 10 ， 因为通项： T r ＋ 1 ＝ C ( ) 10 － r r ＝ ( － 2) r C x 5 － ， 当 5 － 为整数时， r 可取 0 ， 6 ， 于是有理项为 T 1 ＝ x 5 和 T 7 ＝ 13 440. (2) 设第 r ＋ 1 项系数绝对值最大，则 解得 又因为 r ∈ {1 ， 2 ， 3 ， … ， 9} ， 所以 r ＝ 7 ，当 r ＝ 7 时， T 8 ＝－ 15 360 x － ， 又因为当 r ＝ 0 时， T 1 ＝ x 5 ， 当 r ＝ 10 时， T 11 ＝ ( － 2) 10 x － ＝ 1 024 x － ， 所以系数绝对值最大的项为 T 8 ＝－ 15 360 x － . (3) 原式＝ 10 ＋ 9C ＋ 81C ＋ … ＋ 9 10 － 1 C ＝ ＝ ＝ ＝ . 题型二　赋值法的应用 典例 2 　设 (2 － x ) 100 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 100 x 100 ，求下列各式的值． (1) a 0 ； (2) a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 … ＋ a 100 ； (3) a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 99 ； (4)( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 99 ) 2 . [ 分析 ] 　 用赋值法求各系数的和． [ 解析 ] 　 (1) 由 (2 － x ) 100 展开式中的常数项为 C ·2 100 ，即 a 0 ＝ 2 100 ( 或令 x ＝ 0 ，则展开式可化为 a 0 ＝ 2 100 ) ． (2) 令 x ＝ 1 ，可得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 ＝ (2 － ) 100 ， ① ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 ＝ (2 － ) 100 － 2 100 . (3) 令 x ＝－ 1 ， 可得 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 100 ＝ (2 ＋ ) 100 ， ② 与 ① 联立相减可得 a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 99 ＝ . (4) 原式＝ [( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 ) ＋ ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 99 )]·[( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 ) － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 99 )] ＝ ( a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 100 )( a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 98 － a 99 ＋ a 100 ) ＝ (2 － ) 100 × (2 ＋ ) 100 ＝ 1. [ 规律方法 ] 　 1. 各项的系数和 一般地，二项展开式 f ( x ) 中的各项系数和为 f (1) ，奇数项系数和为 [ f (1) ＋ f ( － 1)] ，偶数项系数和为 [ f (1) － f ( － 1)] ． 2 ．赋值法 “ 赋值法 ” 是求二项展开式