2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.1　直线与直线平行（学案）

8.5 　空间直线、平面的平行 8.5.1 　直线与直线平行 新课程标准解读 核心素养 1. 借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系 逻辑推理 2. 了解基本事实 4 及等角定理 直观想象 　　 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示 . 问题 　（ 1 ）为什么这些折痕互相平行？ （ 2 ）初中所学的结论 “ 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ” ，如果去掉条件 “ 在同一平面内 ” ，结论是否仍成立？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 基本事实 4 　平行于同一条直线的两条直线 　平行　 . 知识点二　等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 　相等　 或 　互补　 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 提醒 　 对等角定理的两点认识 ： ① 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实 4 的直接应用； ② 当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补 . 因此等角定理用来证明两个角相等或互补 . 1. 已知 a ， b 是异面直线，直线 c ∥ 直线 a ，那么 c 与 b （　　） A. 一定是异面直线　　　　 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 解析： C 　 假设 c 与 b 平行，由于 c ∥ a ，根据基本事实 4 可知 a ∥ b ，与 a ， b 是异面直线矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线 . 故选 C. 2. 已知 ∠ BAC ＝ 30 ° ， AB ∥ A'B' ， AC ∥ A'C' ，则 ∠ B'A'C' ＝ （　　） A.30 ° B.150 ° C.30 ° 或 150 ° D. 大小无法确定 解析： C 　 当 ∠ B'A'C' 与 ∠ BAC 的两边方向相同或相反时， ∠ B'A'C' ＝ 30 ° ，否则， ∠ B'A'C' ＝ 150 ° . 故选 C. 3. 如图所示，在长方体 AC 1 中， A 1 C 1 与 B 1 D 1 相交于点 O ， E ， F 分别是 B 1 O ， C 1 O 的中点，则长方体的各棱中与 EF 平行的有（　　） A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 解析： B 　 由于 E ， F 分别是 B 1 O ， C 1 O 的中点，故 EF ∥ B 1 C 1 ，因为和棱 B 1 C 1 平行的棱有 AD ， BC ， A 1 D 1 ，所以符合题意的棱共有 4 条 . 4. 已知在棱长为 a 的正方体 ABCD - A'B'C'D' 中， M ， N 分别为 CD ， AD 的中点，则 MN 与 A'C' 的位置关系是 　　　　　 .   解析 ： 如图所示 ， ∵ M ， N 分别为 CD ， AD 的中点 ， ∴ MN 􀰿 AC ， 由正方体的性质可得 AC 􀰿 A'C' ， ∴ MN 􀰿 A'C' ， 即 MN 与 A'C' 平行 . 答案： 平行 题型一 证明直线与直线平行 【例 1 】 　如图所示，在空间四边形 ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中， E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 . （ 1 ）求证：四边形 EFGH 是平行四边形； （ 2 ）如果 AC ＝ BD ，求证：四边形 EFGH 是菱形 . 证明 　 （ 1 ）因为空间四边形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点， 所以 EF ∥ AC ， HG ∥ AC ， EF ＝ HG ＝ AC ， 所以 EF ∥ HG ， EF ＝ HG ， 所以四边形 EFGH 是平行四边形 . （ 2 ）因为空间四边形 ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，所以 EH ∥ BD ， EH ＝ BD . 因为 EF ＝ AC ， AC ＝ BD ，所以 EH ＝ EF . 又因为四边形 EFGH 是平行四边形，所以四边形 EFGH 是菱形 . 通性通法 证明空间两条直线平行的方法 （ 1 ）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； （ 2 ）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； （ 3 ）基本事实 4 ：用基本事实 4 证明两条直线平行，只需找到直线 b ，使得 a ∥ b ，同时 b ∥ c ，即可得到 a ∥ c . 已知棱长为 a 的正方体 ABCD - A'B'C'D' 中， M ， N 分别为 CD ， AD 的中点 . 求证：四边形 MNA'C' 是梯形 . 证明： 如图所示，连接 AC ， 由正方体的性质可知 AA' ＝ CC' ， AA' ∥ CC' ， ∴ 四边形 AA'C'C 为平行四边形， ∴ A'C' ＝ AC ， A'C' ∥ AC ， 又 ∵ M ， N 分别是 CD ， AD 的中点， ∴ MN ∥ AC ，且 MN ＝ AC ， ∴ MN ∥ A'C' ，且 MN ≠ A'C' . ∴ 四边形 MNA'C' 是梯形 . 题型二 等角定理及应用 【例 2 】 　如图，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G 分别为棱 CC 1 ， BB 1 ， DD 1 的中点，试证明： ∠ BGC ＝ ∠ FD 1 E . 证明 　 因为 F 为 BB 1 的中点，所以 BF ＝ BB 1 ，因为 G 为 DD 1 的中点，所以 D 1 G ＝ DD 1 . 又 BB 1 ∥ DD 1 ， BB 1 ＝ DD 1 ，所以 BF ∥ D 1 G ， BF ＝ D 1 G . 所以四边形 D 1 GBF 为平行四边形 . 所以 D 1 F ∥ GB ，同理 D 1 E ∥ GC . 又 ∠ BGC 与 ∠ FD 1 E 的对应边平行且方向相同， 所以 ∠ BGC ＝ ∠ FD 1 E . 通性通法 关于等角定理的应用 （ 1 ）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；