第二章 平面向量及其应用§3 从速度的倍数到向量的数乘
课时1 向量的数乘运算
学习目标 1.掌握实数与向量积的定义．（数学抽象） 2.掌握实数与向量积的三条运算律．（逻辑推理） 3.会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算.（数学运算）
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夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍． 阅读教材,结合上述情境回答下列问题：1.若设光速为 <m></m> ，声速为 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 有何关系？ [答案] <m></m> ． 2.实数与向量相乘结果是实数还是向量？[答案] 是向量.
3.向量数乘运算满足结合律、分配律吗？[答案] 满足.
1.下列运算正确的个数是( ).① <m></m> ；② <m></m> ；③ <m></m> . A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③ <m></m> ，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
2.如图，已知 <m></m> 是 <m></m> 的边 <m></m> 上的中线，若 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ( ). CA. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> [解析] 因为 <m></m> 是 <m></m> 的中点，所以 <m></m> . 3.化简 <m></m> _____. <m></m> [解析] <m></m> .
探究1 数乘运算的定义 一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为 <m></m> ，在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是 <m></m> 吗？在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少？ 问题1：物体的位移是多少？[答案] 类比数的运算，前进3秒钟的位移是 <m></m> ，反向运动3秒钟的位移是 <m></m> .
问题2：向量 <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [答案] <m></m> 的长度是 <m></m> 的长度的3倍，它的方向与向量 <m></m> 的方向相同． <m></m> 的长度是 <m></m> 的长度的3倍，它的方向与向量 <m></m> 的方向相反． 问题2： <m></m> 的几何意义是什么？ [答案] <m></m> 的几何意义就是将表示向量 <m></m> 的有向线段伸长或压缩．当 <m></m> 时，表示 <m></m> 的有向线段在原方向 <m></m> 或反方向 <m></m> 上伸长为原来的 <m></m> 倍．
新知生成 向量数乘的定义 一般地，我们规定实数 <m></m> 与向量 <m></m> 的积是一个______，这种运算叫作向量的数乘，记作____，它的长度和方向规定如下： ① <m></m> ______. ②当 <m></m> 时， <m></m> 的方向与 <m></m> 的方向______； 当 <m></m> 时， <m></m> 的方向与 <m></m> 的方向______； 当 <m></m> 时， <m></m> ． 向量<m></m> <m></m> 相同相反
新知运用例1 已知点 <m></m> 在线段 <m></m> 上，且 <m></m> ，则 <m></m> 等于( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D[解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .故选D.
&1& （1）数乘向量 <m></m> 中，实数 <m></m> 称为向量 <m></m> 的系数. （2）实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如 <m></m> ， <m></m> 均无意义. （3）数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题．
已知 <m></m> ，则下列结论正确的是( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 当 <m></m> 时， <m></m> 不成立，A错误； <m></m> 是一个非负实数，而 <m></m> 是一个向量，B错误；当 <m></m> 或 <m></m> 时， <m></m> ，D错误．
探究2 数乘运算的运算律 已知向量 <m></m> ，有以下三个结论： （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> ． 问题：请通过作图判断以上结论是否成立？
[答案] 各式均是成立的（如图）．（1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> ．
新知生成1.向量数乘的运算律：设 <m></m> ， <m></m> 为任意实数，则 （1） <m></m> _______； （2） <m></m> _________； （3） <m></m> ________.特别地，有 <m></m> _______＝_______， <m></m> ________． 2.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量 <m></m> ， <m></m> ，以及任意实数 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，恒有 <m></m> ____________． <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m>
新知运用一、向量的线性运算例2 化简 <m></m> . [解析] 原式＝ <m></m> .
&2& 向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
二、解向量方程例3 已知向量为 <m></m> ， <m></m> ，未知向量为 <m></m> ， <m></m> ，向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 向量的数乘运算 课件
