6.2.4 向量的数量积
新课程标准解读核心素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积数学抽象2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系逻辑推理
第一课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.
问题 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.
知识点一 向量的夹角1.夹角：已知两个 非零向量 a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ∠AOB＝θ 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 0≤θ≤π . 当θ＝0时，a与b 同向 ；当θ＝π时，a与b 反向 .非零向量 ∠AOB＝θ 0≤θ≤π 同向 反向
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 a⊥b .提醒 （1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；（2）两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为. a⊥b
知识点二 两个向量的数量积1.定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ｜a｜｜b｜cos θ 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.｜a｜｜b｜cos θ a·b a·b＝｜a｜｜b｜cos θ
2.性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；（2）a⊥b⇔ a·b＝0 ；（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；（4）a·b ≤ ｜a｜｜b｜；（5）cos θ＝. a·b＝0 ≤
知识点三 投影向量1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b 投影 ，叫做向量a在向量b上的 投影 向量. 投影 投影
2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为＝｜a｜cos θ e. 提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0.
1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，则向量a，b的夹角为（ ） A.B.C.D.－解析：设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，所以cos θ＝＝＝，所以向量a，b的夹角θ＝.
2.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是 . 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos 45°·e＝3e. 答案：3e
3.如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则·＝ . 解析：·＝｜｜·｜｜cos（180°－B）＝－｜｜·｜｜·cos B＝－｜｜·｜｜·＝－｜｜2＝－1. 答案：－1
02题型突破·析典例
题型一两向量的夹角【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？解 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
通性通法求两个向量夹角的方法（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.2.4 第一课时 向量数量积的概念、运算及投影向量 课件
