2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.3.2　第1课时 抛物线的简单几何性质 学案

3.3.2 　抛物线的简单几何性质 第 1 课时　抛物线的简单几何性质 课程标准 了解抛物线的简单几何性质． 学法解读 1 ．依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质． ( 数学抽象 ) 2 ．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题． ( 数学运算 ) 3 ．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点　抛物线的简单几何性质 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) 图形 范围 x ≥ 0 ， y ∈ R x ≤ 0 ， y ∈ R y ≥ 0 ， x ∈ R y ≤ 0 ， x ∈ R 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点 坐标 F 　 F 　 F 　 F 　 准线 方程 x ＝ － 　 x ＝ 　 y ＝ － 　 y ＝ 　 顶点 坐标 O (0,0) 离心率 e ＝ _ 1 __ 通径长 _ 2 p _ 做一做： 1. 判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 抛物线关于顶点对称． ( × ) (2) 抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． ( √ ) (3) 抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． ( √ ) 2 ．抛物线 y ＝－ x 2 的焦点坐标为 ( D ) A. 　　 B ． ( － 4,0) C. D ． (0 ，－ 4) [ 解析 ] 　因为抛物线 y ＝－ x 2 ，所以 x 2 ＝－ 16 y ， 所以抛物线的焦点坐标为 (0 ，－ 4) ． 3 ．抛物线 y 2 ＝ 4 x 的弦 AB ⊥ x 轴，若 | AB | ＝ 4 ，则焦点 F 到直线 AB 的距离为 2 　 . [ 解析 ] 　由抛物线的方程可知 F (1,0) ， 由 | AB | ＝ 4 且 AB ⊥ x 轴得 y ＝ (2 ) 2 ＝ 12 ， 所以 x A ＝ ＝ 3 ，所以所求距离为 3 － 1 ＝ 2. 题型探究 题型一　抛物线几何性质的应用 典例 1 已知抛物线 y 2 ＝ 8 x . (1) 求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量 x 的范围； (2) 以坐标原点 O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 OAB ，其中 | OA | ＝ | OB |. 若焦点 F 是 △ OAB 的重心，求 △ OAB 的周长． [ 分析 ] 　 (1) 利用抛物线的对应性质求解； (2) 利用抛物线的对称性及重心的性质求解． [ 解析 ] 　 (1) 抛物线 y 2 ＝ 8 x 的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量 x 的范围分别为 (0,0) ， (2,0) ，直线 x ＝－ 2 ， x 轴， [0 ，＋ ∞ ) ． (2) 如图所示．由 | OA | ＝ | OB | 可知 AB ⊥ x 轴，设垂足为点 M . 因为焦点 F 是 △ OAB 的重心，所以 | OF | ＝ | OM |. 因为 F (2,0) ， 所以 | OM | ＝ | OF | ＝ 3 ，所以 M (3,0) ． 故设 A (3 ， m )( m >0) ， 代入 y 2 ＝ 8 x 得 m 2 ＝ 24 ， 所以 m ＝ 2 或 m ＝－ 2 ( 舍去 ) ． 所以 A (3,2 ) ， B (3 ，－ 2 ) ， | OA | ＝ | OB | ＝ ， 所以 △ OAB 的周长为 2 ＋ 4 . [ 规律方法 ] 　把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1) 开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是 x 还是 y ，一次项的系数是正还是负． (2) 关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3) 定值：焦点到准线的距离为 p ；过焦点垂直于对称轴的弦 ( 又称为通径 ) 长为 2 p . 对点训练 ❶ 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 相交的公共弦长等于 2 ，则抛物线的方程为 y 2 ＝ 3 x 或 y 2 ＝－ 3 x 　 . [ 解析 ] 　根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为 ± ，交点横坐标为 ±1 ，则抛物线过点 (1 ， ) 或 ( － 1 ， ) ，设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 px 或 y 2 ＝－ 2 px ( p >0) ，则 2 p ＝ 3 ，从而抛物线方程为 y 2 ＝ 3 x 或 y 2 ＝－ 3 x . 题型二　抛物线焦点弦的性质 典例 2 斜率为 2 的直线经过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点，与抛物线相交于两点 A 、 B ，求线段 AB 的长． [ 解析 ] 　如图，由抛物线的标准方程可知，焦点 F (1,0) ，准线方程 x ＝－ 1. 由题设，直线 AB 的方程为： y ＝ 2 x － 2. 代入抛物线方程 y 2 ＝ 4 x ，整理得： x 2 － 3 x ＋ 1 ＝ 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ，由抛物线定义可知， | AF | 等于点 A 到准线 x ＝－ 1 的距离 | AA ′ | ， 即 | AF | ＝ | AA ′ | ＝ x 1 ＋ 1 ，同理 | BF | ＝ x 2 ＋ 1 ， ∴ | AB | ＝ | AF | ＋ | BF | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5. [ 规律方法 ] 　抛物线的焦点弦的性质 设 AB 是过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 焦点 F 的弦，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 (1) x 1 · x 2 ＝ . (2) y 1 · y 2 ＝－ p 2 . (3)| AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ ( α 是直线 AB 的倾斜角 ) ． (4) ＋ ＝ 为定值 ( F 是抛物线的焦点 ) ． 对点训练 ❷ (2022· 全国乙卷 ) 设 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B (3,0) ，若 | AF | ＝ | BF | ，则 | AB | ＝ ( B ) A ． 2 B ． 2 C ． 3 D ． 3 [ 解析 ] 　方法一：如图，由题意可知 F (1,0) ，设 A ， 则由抛物线的定义可知 | AF | ＝ ＋ 1. 因为 | BF | ＝ 3 － 1 ＝ 2 ，所以由 | AF | ＝ | BF | ，可得 ＋ 1 ＝ 2 ， 解得 y 0 ＝ ±2 ，所以 A (1,2) 或 A (1 ，－ 2) ． 不妨取 A (1,