一轮复习大题专练
20
—解三角形（周长问题）
1
．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
．
（
1
）求
；
（
2
）若
，当
的周长最大时，求它的面积．
解：（
1
）因为
，
所以
，可得
，
由余弦定理可得
，
因为
，
所以
．
（
2
）因为
，
，
所以由余弦定理知，
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
的周长最大值为
，此时
，
所以
的面积
．
2
．在
中，已知
，
．
（
1
）若
，求
．
（
2
）若
，求
．
解：（
1
）由余弦定理得
，
解得
，
；
（
2
）
，
由正弦定理得
，又
，
，
，
，
，
为锐角，
．
由余弦定理得：
，又
，
，
，得：
，解得：
．
当
时，
，
；
当
时，
，
．
3
．已知在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，满足
．
（
1
）求角
的大小；
（
2
）若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围．
解：（
1
）因为
，
所以
，即
，
所以
，整理可得
，
所以可得
，
因为
，可得
，
，
所以
，可得
．
（
2
）由正弦定理
，且
，
，
所以
，
；
所以
．
因为
为锐角三角形，
所以得
，
解得
．
所以
，
；
即
周长的取值范围是
，
．
4
．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，
为
的面积，且
．
（
1
）求
的大小；
（
2
）若
、
，
为直线
上一点，且
，求
的周长．
解：（
1
）
，
，
又
，
，即
，
又
，
；
（
2
）在
中，由余弦定理得：
，
又
、
，
，
，又
，
，
在
中，由正弦定理得
，
又
，
为锐角，
，
在
中，
，
，
，
的周长为
．
5
．已知函数
，
．
（
1
）求函数
的值域；
（
2
）在
中，
，
，
分别为内角
，
，
的对边，若
且
（
A
）
，
的面积为
，求
的周长．
解：（
1
）
，
当
时，
取得最小值
，
当
时，
取得最大值
1
，
即函数
的值域是
，
．
（
2
）由
（
A
）
得
，
，
，
则
，得
，
的面积为
，
，
，则
，
又
，
即
，
得
，
即
，
则周长
．
6
．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）在
①
，
②
，
③
这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若
，
_______
，求
的周长．
解：（Ⅰ）因为
，
可得
，即
，
因为
，
，
所以
，即
，
因为
，
，
所以
，可得
．
（Ⅱ）若选择条件
①
，
因为
，
所以
，
由余弦定理可得
，所以
，可得
，又
，解得
，
因此
的周长为
．
若选择条件
②
，
在
中，由正弦定理可得
，
所以
，
，
所以
的周长为
．
若选择条件
③
，由余弦定理可得
，
所以
，即
，解得
，
，
因此
的周长为
．
7
．如图，在四边形
中，
，
，
．
（
1
）求
；
（
2
）若
，求
周长的最大值．
解：（
1
）在
中，
，
所以
，
利用正弦定理得
，
所以
，
又因为
为钝角，所以
为锐角，
故
；
（
2
）在
中，由余弦定理得
，
解得
或
（舍去），
在
中，
，设
，
，
由余弦定理得
，即
，
整理得
，
又
，
，
利用基本不等式得
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
8
，
所以
的最大值为
，
所以
周长的最大值为
12
．
解答题专练20—解三角形（周长问题）-高考数学一轮复习
