新知初探·课前预习
[教材要点]要点一 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝|x1－x2|＝或|P1P2|＝|y1－y2|＝(k≠0)(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，利用两点间的距离公式直接运算．
状元随笔 在计算弦长时要特别注意一些特殊情况：①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；②直线过圆锥曲线的焦点．在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化．
要点二 中点弦问题直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＝1，①＝1，②①—②，得＝0，即＝0③
设M(x0，y0)为AB的中点，则有同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥将④⑤⑥代入③得kAB＝－.
状元随笔 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导．
[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为.( )(2)过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦长为.( )(3)过抛物线的焦点且垂直于坐标轴的直线被抛物线截得的弦长为2p.( )(4)过抛物线焦点的直线被抛物线截得的弦长公式为|AB|＝x1＋x2＋p.( ) √√√√
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝( )A． B．3 C．2 D． 解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1，0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝＝.故选D. 答案：D
3．若椭圆＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )A．2 B．－2 C． D．－ 解析：设弦端点)，∵斜率k＝＝－＝－＝－.故选D. 答案：D
4．斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________． 答案：10
解析：方法一 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2.因为抛物线x2＝8y的焦点为(0，2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，消去x整理得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10.故线段AB的长为10.方法二 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得抛物线的焦点为(0，2)，故直线AB的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0，由消去y得x2－4x－16＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝－16，代入弦长公式|AB|＝，得|AB|＝10.
题型探究·课堂解透
题型一 弦长问题例1 已知椭圆E：＝1(a>b>0)，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为，过点M(0，1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)当|AB|＝时，求直线l的方程．
解析：(1)由题意知，解得所以椭圆的标准方程为＝1；
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＝8(4k2＋1)>0，设A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－(*)，所以|AB|＝＝·＝，整理得4k4－5k2＋1＝0，解得k2＝1或k2＝，所以k＝±1或k＝±，综上，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±x＋1.
状元随笔 如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
方法归纳处理弦长问题的两个注意点1．当斜率不存在时，可直接求交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长．2．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．
跟踪训练1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.
解析：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F(，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.
题型二 弦的中点问题例2 过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程． 方法一 联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．方法二 点差法设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
解析：方法一 由题意，易知直线的斜率必存在．设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线与圆锥曲线的综合问题 课件
