第一章 数 列
§3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式第2课时 等比数列的性质及应用
1．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质．2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项．3．理解等比数列的单调性与a1，q的关系．1．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养．2．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养.
等比中项 知识点 1在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成___________，那么称G为a，b的等比中项．[提醒] (1)只有两个正数或两个负数才有等比中项；(2)注意：若G2＝ab，G不一定是a与b的等比中项，例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．等比数列
练一练：1．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于( )A．－5 B．5 C．－9 D．9D
2．1与9的等比中项为_______. ±3
等比数列的单调性 知识点 2已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(3)当q＝1时，等比数列{an}为_________(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．常数列
练一练：在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有 an＋1>an.则公比q应满足( )A．q>1 B．0<q<1B
[解析] 在等比数列{an}中，首项a1<0，若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，因为a1<0，所以qn<qn－1，即qn－1(q－1)<0.因为数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，所以q>0，所以q－1<0，解得0<q<1.故选B.
等比数列的性质 知识点 31．等比数列的项之间的关系(1)两项关系通项公式的推广：an＝am·________(m，n∈N*)．(2)多项关系项的运算性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝_________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝_____.qn－map·aq
an－1an－k＋1
练一练：1．在等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝( )A．10 B．25 C．50 D．75[解析] a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.B
2．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝_______.[解析] ∵{an}成等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，16
题|型|探|究 在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为( )A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法确定单调性题型一等比数列的单调性典例 1A又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
[规律方法] 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是( )A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法确定单调性对点训练❶D
已知{an}为等比数列．(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．题型二等比数列性质的应用典例 2
＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a9a10)＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.
[规律方法] 等比数列性质的作用1．利用等比数列的性质解题，会起到化繁为简的效果．2．等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用．
(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_______；(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝___________；(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_______.对点训练❷251或6450
[解析] (1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4，∴a11＝a7q4＝16×4＝64.
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，……，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的 ( )A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍题型三等比数列的实际应用典例 3C
[规律方法] 关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
A．300元 B．900元C．2 400元 D．3 600元(2)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 3.1等比数列的概念及其通项公式第2课时等比数列的性质及应用 课件
