2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值与导数 学案

5 ． 3.2 　函数的极值与最大 ( 小 ) 值 第 1 课时　函数的极值与导数 学习目标 1. 了解极大值、极小值的 概念． ( 难点 ) 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． ( 重点、易混点 ) 3. 会用导数求函数的极大值、极小值． ( 重点 ) 知识脉络 1 ． 极值点与极值 (1) 极小值点与极小值：若函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ a 的函数值 f ( a ) 比它在点 x ＝ a 附近其他点的函数值都小 ， f ′ ( a ) ＝ 0 ， 而且在点 x ＝ a 附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ， 右侧 f ′ ( x ) ＞ 0 ， 就把点 a 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值点 ， f ( a ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值． (2) 极大值点与极大值：若函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ b 的函数值 f ( b ) 比它在点 x ＝ b 附近其他点的函数值都大 ， f ′ ( b ) ＝ 0 ， 而且在点 x ＝ b 附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ， 右侧 f ′( x ) ＜ 0 ， 就 把点 b 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值点 ， f ( b ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值． (3) 极大值点、极小值点统称为 极值点 ；极大值、极小值统称为 极值 ． 思考 1 　导数为 0 的点一定是极值点吗？ 提示　 不一定 ， 如 f ( x ) ＝ x 3 ， f ′ (0) ＝ 0, 但 x ＝ 0 不是 f ( x ) ＝ x 3 的极值点．所以 ， 当 f ′ ( x 0 ) ＝ 0 时 ， 要判断 x ＝ x 0 是否为 f ( x ) 的极值点 ， 还要看 f ′ ( x ) 在 x 0 两侧的符号是否相反． 思考 2 　极值点是点吗？ 提示　 极值点不是点 ， 极值点是指的是函数图象上对应点的横坐标 ， 极值指的是对应的纵坐标． 2 ． 求可导函数 y ＝ f ( x ) 的极值的方法 解方程 f ′( x ) ＝ 0 ， 当 f ′( x 0 ) ＝ 0 时： (1) 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ， 右侧 f ′( x ) ＜ 0 ， 那么 f ( x 0 ) 是 极大值 ； (2) 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ， 右侧 f ′( x ) ＞ 0 ， 那么 f ( x 0 ) 是 极小值 ． 判断正误 ( 正确的打 “√” ， 错误的打 “×” ) (1) 函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 － x ＋ 1 必有 2 个极值． ( 　　 ) (2) 在可导函数的极值点处 ， 切线与 x 轴平行或重合． ( 　　 ) (3) 函数 f ( x ) ＝ 有极值． ( 　　 ) (4) 若 f ′( x 0 ) ＝ 0 ， 则 x 0 一定是极值点． ( 　　 ) (5) 单调函数不存在极值． ( 　　 ) 答案　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 对函数极值概念的理解 (1) 极值是个局部概念 ， 极值只是某个点的函数值 ， 与它附近点的函数值比较 ， 它是最大值或最小值 ， 但并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值． (2) 一个函数在其定义域内可以有许多个极小 值和极大值 ， 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． (3) 函数的极大值与极小值之间无确定的大 小关系． (4) 函数的极值点一定出现在区间内部 ， 区间的端点不能成为极值点． (5) 单调函数一定没有极值． 类型一 不含参数的函数求极值 数学运算 【例 1 】　 求下列函数的极值． (1) f ( x ) ＝ ； (2) y ＝ ； (3) y ＝ x 3 ( x － 5) 2 . 解　 (1) 函数 f ( x ) ＝ 的定义域为 (0 ， ＋ ∞ ) ， 且 f ′( x ) ＝ ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ e. 当 x 变化时 ， f ′ ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如表： x (0 ， e ) e ( e ， ＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － f ( x ) 单调递增  单调递减  故当 x ＝ e 时函数取得极大值 ， 且极大值为 f ( e ) ＝ . (2) ∵ 函数的定义域为 ( － ∞ ， 1 ) ∪ (1 ， ＋ ∞ ) ， 且 y ′ ＝ ， 令 y ′ ＝ 0 ， 得 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ 2 ， ∴ 当 x 变化时 ， y ′ ， y 的变化情况如表： x ( － ∞ ， － 1) － 1 ( － 1 ， 1 ) (1 ， 2 ) 2 (2 ， ＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y 单调递增  － 单调递减  单调递增  3 单调递增  故当 x ＝－ 1 时 ， y 有极大值－ . (3) y ′ ＝ 3 x 2 ( x － 5) 2 ＋ 2 x 3 ( x － 5) ＝ 5 x 2 ( x － 3)( x － 5). 令 y ′ ＝ 0 ， 即 5 x 2 ( x － 3)( x － 5) ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 3 ， x 3 ＝ 5. 当 x 变化时 ， y ′ 与 y 的变化情况如表： x ( － ∞ ， 0 ) 0 (0 ， 3 ) 3 (3 ， 5 ) 5 (5 ， ＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y  无极值  极大值 108  极小值 0  　　 ∴ x ＝ 0 不是 y 的极值点； x ＝ 3 是 y 的极大值点 ， y 极大值 ＝ f (3) ＝ 108 ； x ＝ 5 是 y 的极小值点 ， y 极小值 ＝ f (5) ＝ 0. 类型二 含参数的函数求极值 数学运算、逻辑推理 【例 2 】　 已知函数 f ( x ) ＝ 16 x 3 － 20 ax 2 ＋ 8 a 2 x － a 3 ， 其中 a ≠ 0 ， 求 f ( x ) 的极值． 解　 ∵ f ( x ) ＝ 16 x 3 － 20 ax 2 ＋ 8 a 2 x － a 3 ， 其中 a ≠ 0 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 48 x 2 － 40 ax ＋ 8 a 2 ＝ 8(6 x 2 － 5 ax ＋ a 2 ) ＝ 8(2 x － a )(3 x － a ) ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 x 1 ＝ ， x 2 ＝ . ① 当 a ＞ 0 时 ， ＜ ， 则随着 x 的变化 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如表： x ( － ∞ ， ) ( ， ) ( ， ＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (