2023-2024学年高中数学湘教版选择性必修第一册 1.4数学归纳法 课件

第1章*1.4　数学归纳法 课标要求1.了解数学归纳法的原理;2.能够用数学归纳法证明一些简单的命题. 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升学以致用·随堂检测全达标目录索引 基础落实·必备知识全过关 知识点数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤:(1)证明　　　　　(n0∈N+)时命题成立; (2)假设　　　　　　　　　　时命题成立,证明当　　　　　时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何从n0开始的正整数n,命题成立.满足命题的最小的正整数的值 这种证明方法叫作　　　　　　　.  n=n0 n=k(k∈N+,k≥n0) n=k+1 数学归纳法 名师点睛1.数学归纳法是一种直接证明的方法.一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.假设“当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立”起着已知的作用,证明“当n=k+1时命题也成立”的过程中,必须用到假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入假设,此时n=k+1时命题成立也是假设,命题并没有得证. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　)(2)用数学归纳法证明问题时,假设可以不用.(　　)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1,项数都增加了一项.(　　)× × × 2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数,n0的值都是1吗? 3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法? 提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1. 提示不能. 重难探究·能力素养全提升 探究点一 用数学归纳法证明等式 这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立. 规律方法　用数学归纳法证明等式的方法 [提醒]用数学归纳法证明等式的易错之处:(1)正确分析由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(2)在证明“当n=k+1时命题也成立”中一定要利用假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 变式训练1用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n∈N+.证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,等式对任何正整数n都成立. 探究点二 归纳—猜想—证明S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.分析 根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明: 这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由(1)和(2)可以断定,对任意正整数n,猜想均成立. 规律方法　“归纳—猜想—证明”的一般步骤 变式训练2 (1)求出a2,a3并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想. 本节要点归纳1.知识清单:数学归纳法的两个步骤:(1)证明n=n0(n0∈N+)时命题成立;(2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.2.方法归纳:利用两个步骤证明等式,归纳—猜想—证明.3.常见误区:验证n=n0时不能准确找到n0,在证明步骤(2)时没有利用假设. 学以致用·随堂检测全达标 123451.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+ (a≠1,n∈N+)”.在验证n=1时,左端计算所得项为(　　)A.1+a B.1+a+a2C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4C解析 将n=1代入a2n+1得a3,故选C. 123452.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是(　　)A.假设当n=2k+1(k∈N+)时正确,再推当n=2k+3时正确B.假设当n=2k-1(k∈N+)时正确,再推当n=2k+1时正确C.假设当n=k(k∈N+)时正确,再推当n=k+1时正确D.假设当n≤k(k∈N+)时正确,再推当n=k+2时正确B 123453.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程如下:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,那么,当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k= =2k+1-1.这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.上述证明过程是否正确:　　　　　.(填“正确”或“不正确”) 不正确解析 本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设,这与数学归纳法的要求不符. 123454.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an.依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为　　　　　.  123455.用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+). 证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2×12-1=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.那么,当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+4k+1 =2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).这表明,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可以断定,