第一章2.3 直线与圆的位置关系
基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 成果验收·课堂达标检测
课程标准1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 直线与圆的三种位置关系 位置关系交点个数相交有 公共点 相切只有 公共点 相离 公共点 两个 一个没有
过关自诊1.[人教B版教材习题]已知直线2x+y-5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=6.(1)求圆心到直线的距离d;(2)判断直线与圆的位置关系.
2.[人教B版教材习题]直线x-y-1=0与圆x2+y2=13是否相交?如果相交,求出交点.
知识点2 直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断几何法为常用方法 位置关系相交相切相离公共点 个 个 个 判定方法几何法:设圆心到直线的距离d r d r d r 代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ 0 Δ 0 Δ 0 两一零<=>>=<
过关自诊[人教B版教材习题]判断下列直线与圆的位置关系:(1)直线4x-3y+6=0与圆x2+y2-8x+2y-8=0;(2)直线2x-y+5=0与圆x2+y2-4x+3=0.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断直线与圆的位置关系【例1】 已知直线y=x+b与圆x2+y2=2,当b为何值时,圆与直线有两个公共点?只有一个公共点?没有公共点?Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).(1)当-2<b<2时,Δ>0,直线与圆有两个公共点.(2)当b=2或b=-2时,Δ=0,直线与圆只有一个公共点.(3)当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,直线与圆没有公共点.
当d<r,|b|<2,即-2<b<2时,直线与圆相交,直线与圆有两个公共点.当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,直线与圆相切,直线与圆只有一个公共点.当d>r,|b|>2,即b<-2或b>2时,直线与圆相离,直线与圆无公共点.
规律方法
变式训练1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
解 (方法一:代数法)得5x2-50x+61=0.∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.(方法二:几何法)∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
探究点二 直线与圆相切【例2】 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.①若所求直线的斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,即15x+8y-36=0.②若所求直线的斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
变式探究若本例的条件不变,求其切线长.
规律方法 求过某一点的圆的切线方程,首先判断点与圆的位置关系,以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系知切线的斜率为 ,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.
变式训练2(1)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=( )A.-3 B.1C. D.-3或1D
(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为( )C
(3)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为 . x=2或y=3 解析 ∵由题知,点P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,∴切线方程为y=3.当斜率不存在时,切线方程为x=2.综上,切线方程为x=2,或y=3.
探究点三 直线与圆相交【例3】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
(方法二:代数法)当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0.
规律方法 直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,
变式训练3直线l经过点P(5,5)且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为4 ,求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y-5=k(x-5),与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
(方法二)如图所示,线段|OH|的长度是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半.
本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.(3)圆的切线方程.2.方法归纳:几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区:求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
成果验收·课堂达标检测
1234561.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心D
1234562.若直线x+y+m=0与
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.3直线与圆的位置关系 课件
