新定义问题解题方法与模型
——
数与式中的新定义问题
九年级下学期数学
考试时间：
100
分钟；命题人：中学升学考试命题与预测组
一．选择题（共
8
小题）
1
．若
X
为实数，记
[
X
]
表示不超过
X
的最大整数，则
[
﹣
3.5]
＝（ ）
A
．﹣
4
B
．﹣
3
C
．
3
D
．
4
2
．规定一种新运算：
a
△
b
＝
a
•
b
﹣
a
﹣
b
+1
，如
3
△
4
＝
3×4
﹣
3
﹣
4+1
＝
6
，则（﹣
2
）
△
5
等于（ ）
A
．﹣
16
B
．﹣
12
C
．
4
D
．
12
3
．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成，其中第
①
个图形一共有
5
个实心圆点，第
②
个图形一共有
8
个实心圆点，
…
，按此规律排列下去，第
⑩
个图形中实心圆点的个数为（ ）
A
．
27
B
．
32
C
．
39
D
．
42
4
．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知
A
（
n
，
n
）．
B
（﹣
，
n
），且线段
AB
上共有
2024
个整点，则
n
的值是（ ）
A
．
1348
B
．
1349
C
．
1011
D
．
1012
5
．观察图中用火柴棒摆的三角形图案，图
①
共用
3
根火柴棒，图
②
共用
9
根火柴棒，按这种方式摆下去，图
⑦
需要的总火柴棒数是
（ ）
A
．
63
B
．
108
C
．
74
D
．
84
6
．对实数
m
，
n
定义一种新运算，规定：
f
（
m
，
n
）（其中
a
为非零常数）；例如：
f
（
1
，
2
）＝
1×2+
a
×2
﹣
3
（
2
，
3
）＝
9
，给出下列结论：
①
a
＝
2
；
②
若
f
（
1
，
n
）＞
0
，则
n
＞
1
；
③
若
f
（
m
，
m
）＝
2
m
，则
；
④
f
（
n
，
n
）﹣
2
n
有最小值，最小值为
3
；
以上结论正确的个数是（ ）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
7
．对于两个不相等的实数
a
，
b
，我们规定符号
max
（
a
，
b
）表示
a
，如：
max
（
3
，
5
）＝
5
，
max
（﹣
3
，﹣
5
）＝﹣
3
：按照这个规定，﹣
x
}
＝
x
2
﹣
3
x
﹣
5
，则
x
的值是（ ）
A
．
5
B
．
5
或
C
．﹣
1
或
D
．
5
或
8
．从
n
个不同元素中取出
m
（
m
≤
n
）个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数
表示，
＝
（
n
≥
m
，
n
、
m
为正整数）；例如：
＝
，
＝
，则
+
＝（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
二．填空题（共
8
小题）
9
．定义一种运算符号
“
★
”
：
a
⋆
b
＝
a
2
﹣
ab
，如：（﹣
2
）
⋆
3
＝（﹣
2
）
2
﹣（﹣
2
）
×3
＝
10
，那么
[
（﹣
3
）
⋆
（﹣
2
）
的结果是
．
10
．对于实数
a
、
b
，定义
min
{
a
，
b
}
的含义为：当
a
＜
b
时，
b
}
＝
a
；当
a
＞
b
时，
b
}
＝
b
，例如：
min
{1
，
a
}
＝
a
，
min
{
，且
a
和
b
为两个连续正整数，则
2
a
﹣
b
的值为
．
11
．对于任何实数
a
，
b
，
c
，
d
，我们规定符号的意义是
＝
ad
﹣
bc
2
﹣
3
x
+1
＝
0
时，
的值为
．
12
．对于任意一个三位数
A
，若它的个位数字与十位数字的差是百位数字与十位数字的差的
3
倍，则称这个三位数为
“3
倍差数
”
（
A
），去掉个位数字后得到的新两位数记为
G
（
A
）．例如：三位数
A
＝
547
（
5
﹣
4
），
∴
547
是一个
“3
倍差数
”
，此时
F
（
A
），
G
（
A
）＝
54
，对于一个
“3
倍差数
”
A
＝
100
a
+20
b
+
c
（
1≤
a
≤9
，
0≤
b
≤4
，
0≤
c
≤9
，
a
，
b
，
c
均是整数），若
，则所有满足条件的
A
的个数为
个．
13
．如果一个四位整数
P
能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和相等，把这样的整数
P
称为
“
可爱数
”
，即
P
＝
A
×
B
，
A
＝
10
a
+
b
（
1≤
a
≤9
，
0≤
b
≤9
，
1≤
c
≤9
，
0≤
d
≤9
且
a
，
b
，
c
，
d
均为整数）．若
2
A
+
B
恰好为完全平方数，且
A
是
5
的倍数
．
14
．一个四位自然数
m
，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称
m
为
“
对称数
”
．将
“
对称数
”
m
的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数
n
，记
，则
F
（
m
）的值为
；当
F
（
m
）为整数，且
G
（
m
）
15
．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为
3
，则称这个三位数为
“
尚美数
”
，因为
2+4
﹣
3
＝
3
，所以
234
是
“
尚美数
”
；
材料二：若
t
＝
（
1≤
a
≤9
，
0≤
b
≤9
，
0≤
c
≤9
，且
a
，
b
，
c
均为整数），记
F
（
t
）＝
2
a
﹣
c
．已知
t
1
＝
，
t
2
＝
是两个不同的
“
尚美数
”
，且
F
（
t
1
）
+2
F
（
t
2
）
+4
n
能被
13
整除，则
y
＝
，
t
2
＝
．
16
．在小明同学的笔记本中记录了求算术平方根近似值的一种方法，如
用他记录的这种方法
的近似值为
．
三．解答题（共
9
小题）
17
．现定义运算
“@”
，对于任意实数
a
、
b
，都有
a
@
b
＝
2
a
2
﹣
a
+
b
，若
3@5
＝
2×3
2
﹣
3+5
，若
x
@3
＝
4
，求
x
的值．
18
．关于
x
的整式，当
x
取任意一组相反数
m
与一
m
时，若整式的值相等；若整式的值互
新定义问题解题方法与模型——数与式中的新定义问题九年级下学期数学
