2024届吉林省通化市梅河口市第五中学高三下学期开学考试数学试题（解析版）

2024 届吉林省通化市梅河口市第五中学高三下学期开学考试数学试题 一、单选题 1 ．已知集合 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 化简集合，由交集的概念即可求解 . 【详解】 因为 ， 所以 . 故选： A. 2 ．若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 由复数四则运算以及共轭复数的概念即可得解 . 【详解】 因为 ，所以 . 故选： C. 3 ．已知向量 ， 满足 ， ，则 （      ） A ． B ． 2 C ． D ． 4 【答案】 A 【分析】 由向量数量积公式计算即可得 . 【详解】 因为 ， ，所以 . 故选： A. 4 ．已知椭圆 的上焦点为 ，则 （      ） A ． B ． 5 C ． D ． 7 【答案】 C 【分析】 由焦点概念以及平方关系即可求解 . 【详解】 因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ， ． 因为 ，所以 ，所以 . 故选： C. 5 ．设函数 且 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 根据单调性与导数的关系可得 在 上恒成立，进而即可求解 . 【详解】 依题意， 在 上恒成立， 记 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增，所以只需 ，解得 ， 故选： A ． 6 ．第 19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬 “ 奉献，友爱，互助，进步 ” 的志愿服务精神， 5 名大学生将前往 3 个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有 2 名志愿者的概率为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 首先得甲去场馆 或 的总数为 ，进一步由组合数排列数即可得所求概率 . 【详解】 不考虑甲是否去场馆 ，所有志愿者分配方案总数为 ， 甲去场馆 的概率相等，所以甲去场馆 或 的总数为 ， 甲不去场馆 ，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆 ，场馆 有两名志愿者共有 种； 情形二，甲去场馆 ，场馆 场馆 均有两人共有 种， 场馆 场馆 均有两人共有 种，所以甲不去场馆 时， 场馆 仅有 2 名志愿者的概率为 . 故选： B ． 7 ．已知正方形 的边长为 1 ，将正方形 绕着边 旋转至 分别为线段 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为（      ）    A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据余弦定理求解 ，结合二次函数的性质即可求解 . 【详解】 由于 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 由于 ，则 ， 在 中，利用余弦定理可得 , 所以 ， 过 作 的垂线，垂足为 ，由 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ，所以 ， 不妨设 ，则 ，所以由余