2024届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题（解析版）

2024 届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题 一、单选题 1 ．已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（      ） A ． 9 B ． 8 C ． 7 D ． 6 【答案】 C 【分析】 解不等式求出集合 A ，求出集合 B 的补集，即可确定 的元素，根据元素的个数，即可求得 的真子集的个数 . 【详解】 由题意 ， ，故 ， 故 ，则 的真子集的个数为 ， 故选： C 2 ．若函数 是定义在 上的偶函数，则 （     ） A ． B ． C ． D ． 2 【答案】 D 【分析】 利用偶函数的定义可计算 的值，再根据解析式计算函数值即可 . 【详解】 因为函数 是定义在 上的偶函数， 所以 且 ，则 ， 所以 ，则 . 故选： D ． 3 ．已知复数 z 满足 ，则 （      ） A ． B ． C ． 1 D ． 【答案】 C 【分析】 利用复数的四则运算求出复数 z 即可得出答案 . 【详解】 由题意，复数 满足 ，可得 ， 所以 ．则 1 ， 故选： C ． 4 ．已知 ，则 （      ） A ． B ． C ． 30 D ． 60 【答案】 D 【分析】 设 ，则 ，变换 ，利用二项式定理计算得到答案 . 【详解】 设 ，则 ，所以 ． 的展开式的通项 ， 取 得 ． 故选： D ． 5 ．已知正项等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．则（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【分析】 由等差数列 的关系结合已知等式化简，可得 ，结合 ，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前 n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解 . 【详解】 设正项等差数列 的公差为 d ，因为 ， ， 所以两式相减得 ，可得 ， 即 ，所以 ， 因为 是正项等差数列，则 ，则 ， 所以 ，由 ，得 ， 得 ，即 ，所以 ， 所以 ， ，得 ， ， A ， B 错误； ， C 正确； ， D 错误， 故选： C. 6 ．已知 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 D 【分析】 由同角三角函数的基本关系可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，可得出 的值，再利用两角和的正切公式可求得 的值 . 【详解】 由已知可得 ，解得 ， 所以， ， 故 . 故选： D. 7 ．对于数列 ，若满足： ，则称 为数列 的 “ 优值 ” ，现已知数列 的 “ 优值 ” ，记数列 的前 项和为 ，则 的最大值为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 D 【分析】 将 中的 变为 后两式相减可得数列 的通项公式，然后令 即可求出 的最大值 . 【详解】 由已知得 ① ， 则当 时， ② 所以 ①-② 得 ，即 ， 又当 时， ，符合 ， 故 ， 所以 令 ，得 ， 所以 的最大值为 . 故选： D. 8 ．在平面直角坐标系 中，已知