陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高三上学期1月期末理科数学试题(全解析版)

西工大附中 2022-2023 学年上学期 1 月期末 高三理科数学 一、选择题；本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知复数 ，则共轭复数 在复平面对应的点位于（      ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2 ．设函数 满足 ，且 有 ，则（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．设集合 ，则 A B ＝ A ． B ． C ． D ． 4 ． “ ” 是 “ 不等式 ” 的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．非充分必要条件 5 ．若递增等比数列 { an } 的前 n 项和为 S n ， a 2 =2 ， S 3 =7 ，则公比 q 等于 A ． 2 B ． C ． 2 或 D ．无法确定 6 ．设函数 的最小正周期为 ，则 在 上的零点之和为（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．一个首项为 ，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 A ． B ． C ． D ． 8 ．作用在同一物体上的两个力 ，当它们的夹角为 时，则这两个力的合力大小为（      ） N . A ． 30 B ． 60 C ． 90 D ． 120 9 ．设 ， ，则 等于 A ． B ． C ． D ． 10 ．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（      ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点，点 在椭圆 上， 与 轴垂直， ，则椭圆 的离心率为 A ． B ． C ． D ． 12 ．已知数列 满足 ， （ 且 ），数列 的前 n 项和为 Sn ，则（      ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 ： 本题 5 小题，共 20 分。 13 ．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 ， i 虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为 “ 数学中的天桥 ” 根据此公式， 的最大值为 ________ ． 14 ．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 ，则角 ______ ． 15 ．若点 关于 轴对称点为 ，则 的一个取值为 _____. 16 ．曲线 上某点处的切线与直线 垂直，则该切线方程为 ________ ． 三、解答题 ： 本题 6 小题，共 70 分。 17 ．某班级体育课举行了一次 “ 投篮比赛 ” 活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示： （ 1 ）分别求甲乙两个小组成绩的平均数； （ 2 ）估计甲乙两个小组的成绩的方差大小关系； （ 3 ）甲组高于 70 分的同学中，任意抽取 2 名同学，求恰好有一名同学的得分在 的概率． 18 ．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 . (1) 求抛物线 的标准方程； (2) 直线 与抛物线 交于 ， 两点，若线段 的中点为 ，求直线 的方程． 19 ．已知等差数列 中， . （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）求 的前 项和 的最大值 . 20 ．如图，在四棱锥 ， 底面正方形 ， 为侧棱 的中点， 为 的中点， . （ Ⅰ ）求四棱锥 体积； （ Ⅱ ）证明： 平面 ； （ Ⅲ ）证明：平面 平面 . 21 ．已知数列 的首项为 1 ， 为数列的前 项和， ，其中 ， （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ）且 ； 22 ．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 2 ，圆 与 轴相切，且圆心 与抛物线 的焦点重合 . (1) 求抛物线 和圆 的方程； (2) 设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个不同的点 和点 . 且 ，证明：点 在一条定曲线上 . 23 ．已知函数 ， M 为不等式 的解集 . （ 1 ）求 M ； （ 2 ）证明：当 ， . 参考答案 1 ． C 化简 ，求出 ，找到对应的坐标即可 . 对应的点的坐标为 ，在第三象限 故选： C 2 ． C 根据题意，得到函数 在 上单调递增，且为定义在 上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶性，即可求解 . 由题意知 ，都有 ， 可得函数 在 上单调递增， 又由函数 满足 ，可得 是定义在 上的偶函数， 所以 ，所以 ，即 ， 故选： C . 3 ． D 利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由交集的定义可得结果 . 因为集合 或 ， 所以， ，故选 D. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性 . 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合 . 4 ． A 试题分析：解不等式 得 , 则 , 而 时 , 不成立 . 故 “ ” 是 “ 不等式 ” 的充分不必要条件 . 所以 A 选项是正确的 . 考点：解不等式；充要条件 . 5 ． A . 由 . 得 . 解得 2 或 . 因为等比数列 { an } 为递增数列． 所以 . 故选 A. 6 ． A 由题意可知 ，可得 ，再令 ，可得 在 上的零点，由此即可求出结果 . 因为 ，所以 . 令 ，得 ， 所以 在 上的零点为 ， ，则所求零点之和为 . 故选： A. 本题主要考查了函数 的性质的应用，属于基础题 . 7 ． C 设等差数列 的公差为 ， ，又 数列前六项均为正数，第七项起为负数， ， ，又 数列是公差为整数的等差数列， ，故选 C. 8 ． B 用同一起点的向量表示 ，由向量加法的平行四边形法则计算． 如图， ， ， ，作平行四边形