浙江省绍兴市上虞市第二中学2023-2024学年高三上学期开学考数学试题 (原卷全解析版）

2023-2024 学年高三百校起点调研测试 数学 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 为实数集，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数 对应复平面内的点的坐标为 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知直线 ，则 “ ” 是 “ 直线 与圆 相切 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 高二年级五位数学教师 “ 陈雪梅，王杰，周建军，郭磊，陈正斌 ” 站成一排照相，其中陈正斌与郭磊一定相邻，但是都不与陈雪梅相邻的概率是（ ） A B. C. D. 6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到 的图象，已知函数 的一个零点是 ，且直线 是 的图象的一条对称轴，则当 取最小值时， 的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的右焦点 ，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，以 为直径的圆过点 ，延长 交右支于 点，若 ，则双曲线 的渐近线方程是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 设 ， 为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ， ，则 10. 已知在等比数列 中，满足 ， ， 是 的前 n 项和，则下列说法正确的是（ ）． A. 数列 是等比数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 中， ， ， 仍成等比数列 11. 已知正方体 , 过对角线 作平面 交棱 于点 , 交棱 于点 , 下列正确的是（ ） A. 平面 分正方体所得两部分的体积相等 B. 四边形 一定是平行四边形 C. 平面 与平面 不可能垂直 D. 四边形 的面积有最大值 12. 已知定义域为 的函数 满足 是奇函数， 为偶函数，当 时， ，则（ ） A. 函数 不是偶函数 B. 函数 的最小正周期为 4 C. 函数 在 上有 3 个零点 D. 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 ，则 __________________ ． 14. 已知 展开式的二项式系数之和为 256 ，则 ______ ；展开式中常数项为 ______. 15. 已知抛物线 ： 与圆 ： ，直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，若 ，则抛物线 的准线方程为 ________ . 16. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标 . 卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为 ________ . 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明赛程或演算步骤） 17. 从 ① ， ， 成等差数列； ② ， ， 成等比数列； ③ 这三个条件中任选一 个补充在下面 问题中，并解答下列问题 . 已知 为数列 的前 项和， ， ，且 ________. （ 1 ） 求数列 通项公式； （ 2 ） 记 ，求数列 的前 项和 . 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 . 18. 在 中，已知内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 . （ 1 ） 求角 ； （ 2 ） 若 ，角 的平分线 ，求 的面积 . 19. 某 “ 双一流 ” 大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金 3000 元）、专业二等奖学金（奖金 1500 元）和专业三等奖学金（奖金 600 元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次 . 图 1 是该校 2022 年 500 名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图 2 是这 500 名学生在 2022 年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图 . （ 1 ） 求这 500 名学生中获得专业三等奖学金的人数 . （ 2 ） 若将每周课外平均学习时间超过 35h 的学生称为 “ 努力型 ” 学生，否则称为 “ 非努力型 ” 学生，画出 列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？ （ 3 ） 若以频率作为概率，从该校任选 1 名学生，记该学生 2022 年获得的专业奖学金的金额为随机变量 ，求随机变量 的分布列和期望 . 附表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6 635 7.879 10.828 观测值计算公式： . 20. 如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形， ， 是棱 的中点， ，点 在线段 上，且 . （ 1 ） 求证： 平面 . （ 2 ） 若 ，平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 . 21. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，斜率为 的直线 过 且与椭圆 相交于 ， 两点， 的周长为 . （ 1 ）求