江苏省如皋市2024届高三1月诊断测试数学试题（原卷解析版）

如皋市 2024 届高三 1 月诊断测试 数 学 试 题 2024. 1 注意事项（请考生 作答前 认真阅读以下内容）： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号 . 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上 . 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 试卷共 4 页， 共 19 小题 ；答题卡共 2 页 . 满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 命题：马超 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 抛物线 的焦点坐标为 （ ▲ ） . A. B. C. D. 在等比数列 中， ， ，且前 x 项和 ， （ ▲ ） . A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 已知 m ， n 表示两条不同直线， 表示平面，则 （ ▲ ） . A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车 位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有 （ ▲ ）种停放方法 . A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 已知 的边 BC 的中点为 D ，点 E 在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ▲ ） . A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 函数 的图象为椭圆 轴上方的部分，若 ， ， 成等比数列，则点 的轨迹是 （ ▲ ） . A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分 C. 双曲线一部分 D. 线段 不包含端点 和双曲线一部分 已知 ， ，则 （ ▲ ） . A. 3 B. C. D. 2 双曲线 C ： 的 左、右焦点分别是 ， ，离心率为 ，点 是 C 的右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是 M ， ，若 C 上一点 T 满足 ，则 T 到 C 的两条渐近线距离之和为 （ ▲ ） . A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 已知复数 是关于 x 的方程 的两根，则 （ ▲ ） . A. B. C. D. 若 ，则 若函数 ，则 （ ▲ ） . A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的最小值为 D. 的单调递减区间为 ， 设 a 为常数， ， ，则 （ ▲ ） . A. B. 恒成立 C. D. 满足条件的 不止一个 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 集合 ，若 A 中元素至多有 1 个，则 a 的取值范围是 ▲ . 已知圆锥的母线长为 2 ，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 ▲ 时，圆锥的体积最大，最大值为 ▲ . 函数 的最小值 ▲ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 . （本小题满分 13 分） 设 ，曲线 在点 处取得极值 . （ 1 ）求 a ； （ 2 ）求函数 的单调区间和极值 . （本小题满分 15 分） 袋中装有 5 个乒乓球，其中 2 个旧球，现在无放回地每次取一球检验． （ 1 ）若直到取到新球为止，求抽取次数 X 的概率分布及其均值； （ 2 ）若将题设中的 “ 无放回 ” 改为 “ 有放回 ” ，求检验 5 次取到新球个数 X 的均值． （本小题满分 15 分） 如图，在三棱柱 中， ， ，且平面 平面 （ 1 ） 证明：平面 平面 ； （ 2 ） 设点 P 为直线 BC 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值 . （本小题满分 17 分） 已知抛物线 E ： 的焦点为 F ，若 的三个顶点都在抛物线 E 上，且满足 ，则称该三角形为 “ 核心三角形 ” ． （ 1 ）设 “ 核心三角形 ABC ” 的一边 AB 所在直线的斜率为 2 ，求直线 AB 的方程； （ 2 ）已知 是 “ 核心三角形 ” ，证明： 三个顶点的横坐标都小于 （本小题满分 17 分） 对于给定的正整数 n ，记集合 ，其中元素 称为一个 n 维向量 . 特别地 ， 称为零向量 . 设 ， ， ，定义加法和数乘： ， . 对一组向量 ， ， … ， ，若存在一组不全为零的实数 ， ， … ， ，使得 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （ 1 ）对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ① ， ； ② ， ， ； ③ ， ， ， （ 2 ）已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由． （ 3 ）已知 个向量 ， ， … ， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明 ： ① 如果存在等式 ，则这些系数 ， ， … ， 或者全为零，或者全不为零； ② 如果两个等式 ， 同时成立，其中 ，则 如皋市 2024 届高三 1 月诊断测试 数学参考答案 2024.01 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A D A A A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分 . 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABC 三、填空题：本题共 3 小