江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题（全解析版）

江苏省 南京师大附中 2020-2021 学年度第 2 学期 高一年级期末考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本大题共 8 小题 . 每小题 5 分，共计 40 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 是虚数单位，复数 ，若 ，则 （ ） A. B.1 C.2 D.3 2. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 D 为 BC 的中点，则异面直线 AD 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，若 ， ， ，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 钝角三角形 的面积是 ， ， ，则 等于（ ） A.1 B.2 C. D.5 5. 如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为 ，则其表面积的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量 ， ， ， 若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过圆 外一点 作圆的切线 ， ，切点分别为 A ， B ，现将 沿 折起到 ，使点 P 在圆 所在平面上的射影为圆心 ，若三棱锥 的体积是圆锥 体积的 . 则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题。每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得 5 分，都分选对得 2 分，其他情况不得分 9. 某家庭将 2018 年 1 月至 2019 年 12 月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ） A.2019 年的教育总投入要高于 2018 年的教育总投入 B.2018 年与 2019 年中月教育投入最多的均在 8 月份 C.2018 年与 2019 年的月教育投入逐月增加 D.2018 年与 2019 年中每年 9 月至 12 月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小 10. 已知复数 （ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，若复数 ，则下列结论正确的有（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. C. 的实数部分为 D. 的虚部为 11. 现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题 3 个队回答正确的概率分别为 ， ， ， 则关于该问题的回谷情况，以下说法中正确的是 （ ） A ， 3 个队都正确的概率为 B.3 个队都不正确的概率为 C. 出现恰有 1 个队正确的概率比出现恰有 2 个队正确的概率大 D. 出现恰有 2 个队正确的概率比出现恰有 1 个队正确的概率大 12. 正方体 的棱长为 2 ， E ， F ， G 分别为 BC ， ， 的中点．则（ ） A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行 C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 和点 到平面 的距离相等 三、填空题：本大题共 4 小题 5 个空，每题 5 分，共计 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 . 13. 下列数据： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 的下四百分位数为 _ __________ ， 90 百分位数为 _ __________. 14. 用斜二侧法画水平放置的 的直观图，得到如图所示等腰直角 ．已知点 是斜边 的中点，且 ，则 的 边上的高为 _ __________. 15. 在直三棱柱 中 . 若 ， ， ，则点 到平面 的距离为 _ ___________. 16. 在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折起，使二面角 的大小为 120° ，这时点 A ， B ， C ， D 在同一个球面上，则该球的表面积为 _ ___________. 四、解答题：本大题共 6 小题。共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图． （ 1 ）求频率分布直方图中 的值； （ 2 ）估计总体中成绩落在 中的学生人数； （ 3 ）根据频率分布直方图估计 20 名学生数学考试成绩的众数，中位数； 18. 在 中， . （ 1 ）若 ， 的面积为 ，求 ； （ 2 ）若 ，求 周长的最大值 . 19. 已知平面向量 ， . （ 1 ）若 ，求实数 的值； （ 2 ）若 ，求 与 的夹角 20. 如图，在三棱柱 中， ，侧面 为菱形 . （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）若点 D ， E 分别为 ， 的中点，求证： 平面 . 21. 已知在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 i 题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .4 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（ “√” 表示答对， “×” 表示答错）： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ √ × × 1 0 √ √ √ √ × （ 1 ）根据题中数据，将被抽取的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并 估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数． 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （ 2 ）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率． （ 3 ）定义统计量 ，其中 为第 i 题的实测