2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区中学高三上学期1月期末考试数学试题（全解析版）

浙江省绍兴市柯桥区中学 2023 -2024 学年第一学期期末教学质量调测 高三数学试题 注意事项： 1 ．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题， 2 ．答题前，请在答题卷的规定处用，黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号． 3 ．试卷分为选择题和非选择题两部分，共 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 若 （ 为虚数单位），则 （ ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 3 ． 函数 的单调递减区间是 （ ） A ． B ． C ． D ． 4 ． 已知平面向量 ，若 ，则 （ ） A ． 或 B ． 或 C ． 或 3 D ． 或 3 5 ． 已知命题 ：函数 在 内有零点，则命题 成立的一个必要不充分条件是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6 ． 直线 交曲线 于点 ，则 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ． 已知 为非负实数，且 ，则 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 若对任意实数 ，恒有 成立，则实数 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集可能是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10 ．已知直线 为异面直线， 平面 平面 ，则下列线面关系可能成立的是 （ ） A ． B ． 平面 C ．平面 平面 D ．平面 平面 11 ．已知等差数列 的前 项和为 ，则 （ ） A ．数列 为等比数列 B ． C ．当且仅当 时， 取得最大值 D ． 12 ．双曲线 上一动点 为双曲线的左、右焦点，点 为 的内切圆圆心，连接 交 轴于点 ，则下列结论正确的是 （ ） A ．当 时，点 在 的内切圆上 B ． C ． D ．当 时， 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ．若 的展开式中二项式系数之和为 32 ，则展开式中的含 的项的系数为 ____________ ． 14 ．已知函数 在 上存在极值点，则正整数 的值是 ____________ ． 15 ．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标．卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 ____________ ． 16 ．已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交 于 两点，直线 分别交 于 ，则 的最小值为 ____________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ．（ 10 分） 已知锐角 的内角 ，所对的边分别为 ，且 ． （ 1 ）求角 ； （ 2 ）若 ，求 的周长的取值范围． 18 ．（ 12 分） 已知数列 的前 项和为 ．若 为等差数列，且满足 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设 ，求 ． 19 ．（ 12 分） 临近新年，某水果店购入 三种水果，数量分别是 36 箱， 27 箱， 18 箱．现采用分层抽样的方法抽取 9 箱，进行质量检查． （ 1 ）应从 三种水果各抽多少箱？ （ 2 ）若抽出的 9 箱水果中，有 5 箱质量上乘， 4 箱质量一般，现从这 9 箱水果中随机抽出 4 箱送有关部门检测． ① 用 表示抽取的 4 箱中质量一般的箱数，求随机变量 的分布列和数学期望； ② 设 为事件 “ 抽取的 4 箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果 ” ，求事件 发生的概率． 20 ．（ 12 分） 如图，在三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形， ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若平面 平面 ，在线段 （包含端点）上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由． 21 ．（ 12 分） 已知椭圆 与圆 交于 两点，直线 过该圆圆心，且斜率为 ，点 分别为椭圆 的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 两点，记直线 的斜率分别为 ． （ 1 ）求椭圆 的离心率； （ 2 ）若 ，求 的值． 22 ．（ 12 分） 已知函数 ． （ 1 ）讨论函数的单调性； （ 2 ）若函数 有两个解 ，求证： ． 2023 学年第一学期期末教学质量调测 高三数学试题参考答案 一、选择题 1-4CBCA 5-8DBBC 二、选择题 9 ． ACD 10 ． AD 11 ． AB 12 ． AB 三、填空题 17 ． （ 1 ）由已知得， ， ， 为锐角三角形， ． （ 2 ）由正弦定理得 ， 则 ， 因为 得 ，得 所以 ，得 ． 18 ．（ 1 ）由已知得，设 公差为 ，则 ， 求得 ， 当 时， ， 符合上式， （ 2 ）由（ 1 ）知 ，令 ，得 ， 当 时，则 当 时，则 ； 19 ．（ 1 ）根据分层抽样， 水果需要抽取 ， B 水果需要抽取 （ 2 ） 0 1 2 3 4 所以 20 ．（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， 因为 是边长为 2 的正三