江西省宜春市宜丰中学创新部2024届高三上学期第一次（10月）月考数学试题（解析版）

江西省宜春市宜丰中学创新部 2024 届高三上学期第一次（ 10 月）月考 数学试题 一、单选题（ 40 分） 1 ．集合 ，集合 ，则 A ． B ． C ． D ． 2 ．已知 a 为实数，若复数 为纯虚数，则 的值为（      ） A ． 1 B ． 0 C ． D ． 3 ．数列 满足 ，若 ，则 等于（      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学 1 ，则有（      ）种安排方法 A ． 335 B ． 100 C ． 360 D ． 340 5 ．函数 的图象大致为（      ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知函数 ， . 若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7 ．已知 是圆 上不同的两个动点， 为坐标原点，则 的取值范围是（      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知双曲线 的右焦点 ，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，以 为直径的圆过点 ，延长 交右支于 点，若 ，则双曲线 的渐近线方程是（      ） A ． B ． C ． D ． 二、多选题（ 20 分） 9 ．下列命题为真命题的是（      ） A ．若 ，且 ，则 B ．若 ，则 C ．若 ，则 D ．若 ，则 10 ．已知函数 的定义域为 ，函数 的图象关于点 对称，且满足 ，则下列结论正确的是（      ） A ．函数 是奇函数 B ．函数 的图象关于 轴对称 C ．函数 是最小正周期为 2 的周期函数 D ．若函数 满足 ，则 11 ．如图，直角梯形 中， ， ， ， 为 中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . 则下列说法正确的有（      ）    A ． 平面 B ．四棱锥 外接球的体积为 C ．二面角 的大小为 D ． 与平面 所成角的正切值为 12 ．已知直线 与曲线 相交于 ， 两点，与曲线 相交于 ， 两点， ， ， 的横坐标分别为 ， ， . 则（      ） A ． B ． C ． D ． 三、填空题（ 20 分） 13 ． 的展开式中含 项的系数为 . 14 ．如图 1 是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图 2 所示，则该正四棱台部分的体积为 .    15 ．已知函数 （ ，且 ），曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 . 16 ．双曲线 的左焦点为 F ，直线 与双曲线 C 的右支交于点 D ， A ， B 为线段 的两个三等分点，且 （ O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为 . 四、解答题（ 70 分） 17 ．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 . (1) 求角 的值； (2) 若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值 . 18 ．已知数列 中， ， . （ 1 ）令 ，求证：数列 是等比数列； （ 2 ）令 ，当 取得最大值时，求 的值． 19 ．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有 、 、 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得 分，否则得 分；乙类问题中每个问题回答正确得 分，否则得 分．已知 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答乙类问题的概率为 ； 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答乙类问题的概率为 ； 员工能正确回答甲类问题的概率为 ，能正确回答乙类问题的概率为 ． (1) 求 人得分之和为 分的概率； (2) 设随机变量 为 人中得分为 的人数，求随机变量 的数学期望． 20 ．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， ． (1) 证明： ； (2) 当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最大？ 21 ．已知函数 （ 1 ）若 ，证明： ； （ 2 ）若 在 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围 . 22 ．已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 A ， B ，点 P ， Q 为椭圆上异于 A ， B 的两个动点， 面积的最大值为 2. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设直线 ， 的斜率分别为 ， ， 和 的面积分别为 ， . 若 ，求 的最大值 . 1 ． A 【分析】先由二次不等式的解法得 ，由对数不等式的解法得 ，再结合集合并集的运算即可得解 . 【详解】解不等式 , 解得 , 则 , 解不等式 , 解得 , 即 , 即 , 故选 :A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题 . 2 ． B 【分析】由复数 为纯虚数求出 ，再代入所求式化简即可得出答案 . 【详解】若复数 为纯虚数， 所以 ，解得 ， . 故选： B. 3 ． C 【分析】根据题设递推式可得数列具有周期性，周期为 4 ，进而求解即可 . 【详解】由 ， 因为 ，所以 ， ， ， ， ， 所以数列具有周期性，周期为 4 ， 所以 ． 故选： C. 4 ． C 【分析】把 6 位老师按照 4 ， 1 ， 1 或 3 ， 2 ， 1 或 2 ， 2 ， 2 人数分为三组；每种分组再分同学 1 安排的几位老师辅导解答 . 【详解】把 6 位老师按照 4 ， 1 ， 1 或 3 ， 2 ， 1 或 2 ， 2 ， 2 人数分为三组； ① 把 6 为