‪北京市东城区北京二中2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市东城区北京二中 2021-2022 学年高二（下）期末 数 学 一 ､ 选择题 1. 已知离心率为 2 的双曲线 与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 函数 的导函数 的图象如图所示，给出下列命题： ① 是函数 的极值点； ② 是函数 的最小值点； ③ 区间 上单调递增； ④ 在 处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 3. 已知 ，数列 ， ， ， 与 ， ， ， ， 都是等差数列，则 的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 5. 若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数 的最小值是 A. B. C. D. 6. 已知抛物线 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 在 C 上，直线 PF 交 y 轴于点 Q ，若 ，则点 P 到准线 l 的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决 个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么 “ 多一个 ” 要么 “ 持平 ” 要么 “ 少一个 ” ，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若曲线 在 上存在垂直 轴的切线，则实数 取值范围为 A. B. C. D. 9. 已知 ､ 分别是双曲线 的左、右焦点，双曲线 的右支上一点 满足 ，直线 与该双曲线的左支交于 点，且 恰好为线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设 为等比数列，且 ， ，现有如下四个命题： ① 成等差数列； ② 不是质数； ③ 的前 项和为 ； ④ 数列 存在相同的项 . 其中所有真命题的序号是 A. ①④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 二 ､ 填空题 11. 已知 ，则 _________ ， ______________. 12. 数列 中， 前 99 项的和 ，则 ___________. 13. 设等差数列 前 n 项和为 ．若 ， ，则 ________ ， 的最大值为 ________ ． 14. 如图，椭圆 的左右焦点为 ， ，以 为圆心的圆过原点，且与椭圆 在第一象限交于点 ，若过 ､ 的直线 与圆 相切，则直线 的斜率 ______ ；椭圆 的离心率 ______. 15. 已知函数 . （ 1 ）当 时， 的极小值为 ______ ；（ 2 ）若 ，在 上恒成立，则实数 a 的取值范围为 ______. 三 ､ 解答题 16. 在 ① ， ② ， ③ （ ）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答， 已知 为等差数列， 的前 n 项和为 ，且 ， ， ， __________ ，是否存在正整数 k ，使得 ？若存在，求 k 的最小值：若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 17. 某省从 2021 年开始将全面推行新高考制度，新高考 “ ” 中的 “2” 要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从 2021 年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为 ， ， ， ， ，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到 、 、 、 、 五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为 100 分 . 具体转换分数区间如下表： 等级 比例 赋分区间 而等比例转换法 通过公式计算： 其中 ， 分别表示原始分区间的最低分和最高分， 、 分别表示等级分区间的最低分和最高分， 表示原始分， 表示转换分，当原始分为 ， 时，等级分分别为 、 假设小南的化学考试成绩信息如下表： 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 化学 75 分 等级 设小南转换后的等级成绩为 ，根据公式得： ， 所以 （四舍五入取整），小南最终化学成绩为 77 分 . 已知某年级学生有 100 人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得 等级的学生原始成绩统计如下表： 成绩 95 93 91 90 88 87 85 人数 1 2 3 2 3 2 2 （ 1 ）从化学成绩获得 等级的学生中任取 2 名，求恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的概率； （ 2 ）从化学成绩获得 等级的学生中任取 5 名，设 5 名学生中等级成绩不小于 96 分人数为 ，求 的分布列和期望 . 18. 如图，抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 、 、 均在抛物线上 . （ 1 ）求抛物线的方程； （ 2 ）若 平分线垂直于 轴，证明直线 的斜率为定值 . 19. 已知函数 （ 1 ）求函数 图象在点 处的切线方程； （ 2 ）证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 20. 已知函数 ， （ 1 ）若 ，求函数 在点 处的切线方程； （ 2 ）当 时， 恒成立，求 a 的取值范围 . 21. 已知椭圆 C ： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ， A 为 C 的上顶点，且 的周长为 ． （ 1 ）求椭圆 C 方程； （ 2 ）直线 l ： 与椭圆 C 交于 M ， N 两点， O 为坐标原点，当 k 为何值， 恒为定值，并求此时 面积的最大值． 参考答案 一 ､ 选择题 1. 已知离心率为 2 的双曲线 与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答