重庆市綦江南州中学校2021-2022学年高二下学期期中数学试题（原卷全解析版）

2021-2022 学年重庆市綦江南州中学校 高二下期数学期中考试 （考试总分： 150 分，考试时长： 120 分钟） 一、单选题（本题共计 8 小题，总分 40 分） 1. 设 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 的导函数为 ，则 （ 为虚数单位） A B. C. D. 3. 的展开式中，第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44 ，则展开式中的常数项是（　　） A. 第 3 项 B. 第 4 项 C. 第 7 项 D. 第 8 项 4. 高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A. 1800 B. 3600 C. 4320 D. 5040 5. 随机变量 ξ 的分布列为 ，其中 c 为常数 , 则 等于 A. B. C. D. 6. 设函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下 9 枚纹样徽章，其中 4 枚凤纹徽章， 5 枚龙纹徽章．小楠从 9 枚徽章中任取 3 枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）． A. B. C. D. 8. 函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共计 4 小题，总分 20 分） 9. 若 ，则下列结论中正确 是 A. B. C. D. 10. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标恰好被命中一次的概率为 B. 目标恰好被命中两次 概率为 C. 目标被命中的概率为 D. 目标被命中的概率为 11. 已知函数 的定义域为 ，部分函数值如表 1 ， 的导函数 的图象如图 1. 下列关于函数 的性质，正确的有（ ） A. 函数 在 是减函数 B. 如果当 时， 的最大值是 2 ，那么 的最大值为 4 C. 函数 有 4 个零点，则 D. 函数 在 取得极大值 12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， . 则下列结论正确的是（ ） . A 当 时， B. 函数 在 上有且仅有 三个零点 C. 若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 D. ， 三、填空题（本题共计 4 小题，总分 20 分） 13. 已知 是虚数单位，复数 ，则 ________ ． 14. 下列随机变量中不是离散型随机变量的有 ___________ . （填序号） ① 某宾馆每天入住的旅客数量 ； ② 广州某水文站观测到一天中珠江的水位 ； ③ 深圳欢乐谷一日接待游客的数量 ； ④ 虎门大桥一天经过的车辆数 . 15. 2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情 . 面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中 . 为分担 “ 逆行者 ” 的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展 “ 爱心辅导 ” 活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课 . 现安排甲、乙、丙 三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 ______ 种辅导方案 . 16. 定义在 上的函数 满足： ，且对于任意的 , 都有 ，则不等式 的解集为 __________________ . 四、解答题（本题共计 6 小题，总分 70 分） 17. 已知 a 为实数，复数 z 1 ＝ 2 － i ， z 2 ＝ a ＋ i(i 为虚数单位 ) ． （ 1 ）若 a ＝ 1 ，指出 在复平面内对应 点所在的象限； （ 2 ）若 z 1 ·z 2 为纯虚数，求 a 的值． 18. 已知函数 . （ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程； （ 2 ）求函数 在 上的极值 . 19. 已知 展开式中各项系数之和等于 的展开式的常数项 . （ 1 ）求 展开式的第 2 项； （ 2 ）若 的展开式的二项式系数最大的项的系数等于 54 ，求 a 的值 . 20. 设函数 f ( x ) ＝ axe x + x 2 +2 x +1 ． （ 1 ）当 a ＝ 1 时，求函数 f ( x ) 在 [ － 2 ， 1] 上的最值； （ 2 ）若函数 f ( x ) 在 [0 ， + ∞ ）上单调递减，求实数 a 的最大值． 21. 某高校在 2018 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是 10 分．按成绩共分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，得到的频率分布直方图如图所示： （ 1 ） 分别求第三，四，五组的频率； （ 2 ） 该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取 6 名同学． ① 已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率； ② 若在这 6 名同学中随机抽取 2 名，设第 4 组中有 名同学，求 的分布列． 22. 已知函数 （ ）， （ ）． （ 1 ） 若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 与 的值； （ 2 ） 当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 2021-2022 学年重庆市綦江南州中学校 高二下期数学期中考试 （考试总分： 150 分，考试时长： 120 分钟） 一、单选题（本题共计 8 小题，总分 40 分） 1. 设 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得 ，进而求模长