2023-2024学年湖北省孝感市高级中学重点高中教科研协作体高三上学期开学考试数学试题(原卷全解析版）

2023 年湖北省高三 9 月起点考试 高三数学试卷 命题学校： 孝昌一中 命题老师： 柯海清 杨胜辉 审题学校： 汉川一中 考试时间： 2023 年 9 月 5 日下午 15 ： 00 — 17 ： 00 试卷满分： 150 分 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 已知复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，集合 ，则集合 的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3. 设等差数列 的前 n 项的和为 ，满足 ， ，则 的最大值为（ ） A.14 B.16 C.18 D.20 4. 已知 的所有项的系数和为 3 ，则 的系数为（ ） A.80 B.40 C. D. 5. 已知圆 O 的直径 ，动点 M 满足 ，则点 M 的轨迹与圆 O 的相交弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数 ，则函数 的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7. 已知来自甲、乙、丙三个学校的 5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为 1 、 2 、 2. 现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（ ） A.40 B.36 C.56 D.48 8. 已知 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分 . 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线 与直线 平行，则 或 B. 数据 1 、 5 、 8 、 2 、 7 、 3 的第 60% 分位数为 5 C. 设随机变量 X ～ ，则 最大时， D. 在 中，若 ，则 为等腰三角形 10. 已知函数 ，则（ ） A. 点 为 的一个对称中心 B. 函数 在区间 上单调递增 C. 函数 在区间 上的值域为 D. 若函数 在区间 上只有一条对称轴和一个对称中心，则 11. 在边长为 2 的正方体 中，点 M ， N ， P 分别为 AB ， ， 的中点，则（ ） A. 平面 B. 点 B 到平面 PMN 的距离为 C. 、 DA 、 CM 相交于一点 D. 平面 PMN 与正方体的截面的周长为 12. 已知双曲线 的左右顶点为 ， ，左右焦点为 ， ，直线 l 与双曲线的左右两支分别交于 P ， Q 两点，则（ ） A. 若 ，则 的面积为 B. 存在弦 PQ 的中点为 ，此时直线 l 的方程为 C. 若 的斜率的范围为 ，则 的斜率的范围为 D. 直线 l 与双曲线的两条渐近线分别交于 M ， N 两点，则 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分 . 13. 若向量 ， ，且 ，则 与 的夹角为 ______. 14. 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离 x （单位： km ）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与 x 成正比 . 若在距离车站 10km 处建立仓库，则 与 分别为 4 万元和 16 万元 . 则当两项费用之和最小时 ______ （单位： km ） . 15. 已知直线 是曲线 与抛物线 的公切线，则 ______. 16. 在 中， ， ，将 绕着边 BC 逆时针旋转 后得到 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ______. 四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. （ 10 分）已知数列 的首项 ，满足 （ 1 ）求证：数列 为等比数列； （ 2 ）记数列 的前 n 项的和为 Tn ，求满足条件 的最大正整数 n . 18. （ 12 分）已知 a ， b ， c 为 的三个内角 A ， B ， C 的对边，且满足： （ 1 ）求角 A ； （ 2 ）若 的外接圆半径为 求 的周长的最大值 . 19. （ 12 分）如图所示，在三棱柱 中，侧面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ；侧面 ABEF 为矩形， ，且平面 平面 ABEF . （ 1 ）求证： ； （ 2 ）设 M 是线段 上的动点，试确定点 M 的位置，使二面角 的余弦值为 . 20. （ 12 分）为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了 100 人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示： 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 25 10 35 吸烟者 15 50 65 合计 40 60 100 （ 1 ）依据小概率 的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险； （ 2 ）从这 100 人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽 2 人，记这 2 人中不患肺癌的人数为 X ，求 X 的分布列和均值； （ 3 ）某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为 90%. 现随机选择了 10 名肺癌患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过 7 人 . 请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由 . 参考公式和数据： （