江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题（全解析版）

2022-2023 学年 江苏常州市高级中学 高三年级 1 月月考 数学试卷 一、单 项 选 择 题 （本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ．集合 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 2 ．已知 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知圆锥 的底面半径为 3 ，母线长为 5. 若球 在圆锥 内，则球 的体积的最大值为（      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．若函数 的图象关于原点对称，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 5 ．已知两个单位向量 ， 的夹角为 60° ，设 （其中 x ， y ∈ R ），若 | | ＝ 3 ，则 xy 的最大值（      ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 6 ．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．已知点 P 是抛物线 上的一点，在点 P 处的切线恰好过点 ，则点 P 到抛物线焦点的距离为（      ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 8 ．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 为 “ 两次记录的数字之和为奇数 ” ，事件 为 “ 第一次记录的数字为奇数 ” ，事件 为 “ 第二次记录的数字为偶数 ” ，则下列结论正确的是（      ） A ．事件 与事件 是对立事件 B ．事件 与事件 不是相互独立事件 C ． D ． 二、多选题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9 ．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（      ） A ．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变 B ．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 C ．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边 “ 拖尾 ” ，则平均数小于中位数 D ．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小 10 ．下列式子的运算结果为 的是（      ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 A （ 4 ， 2 ）， B （ 0 ， 4 ），圆 ， P 为圆 C 上的动点，下列结论正确的是（      ） A ． 的最大值为 B ． 的最小值为 C ． 的最小值为 D ． 最大时， 12 ．如图，点 是正四面体 底面 的中心，过点 且平行于平面 的直线分别交 ， 于点 ， ， 是棱 上的点，平面 与棱 的延长线相交于点 ，与棱 的延长线相交于点 ，则（      ） A ．若 平面 ，则 B ．存在点 与直线 ，使 C ．存在点 与直线 ，使 平面 D ． 三、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 ．已知函数 是定义在 R 上的增函数，且 ，则 的取值范围是 __________. 14 ．已知抛物线的方程为 ，且过点 ，则焦点坐标为 ______ ． 15 ．函数 的值域为 _________. 16 ． “ 垛积术 ” （隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等 . 某仓库中部分货物堆放成如图所示的 “ 茭草垛 ” ：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 件 . 已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 ，第 层的货物的价格为 ______ ，若这堆货物总价是 万元，则 的值为 ______. 四 、解答题 （本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 ．对于数列 ，若存在正整数 M ，同时满足如下两个条件： ① 对任意 ，都有 成立； ② 存在 ，使得 ．则称数列 为 数列． (1) 若 ， ，判断数列 和 是否为 数列，并说明理由； （ 5 分） (2) 若 数列 满足 ， ，求实数 p 的取值集合． （ 5 分） 18 ．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为 ，且每局比赛都分出了胜负． (1) 求比赛结束时乙获胜的概率； （ 6 分） (2) 比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量 X ，求随机变量 X 的分布列． （ 6 分） 19 ．在 ① ， ② ， ③ ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． （ 7 分） 问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ________ ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 20 ．如图，空间几何体 中，四边形 是梯形， ，四边形 是矩形，且平面 平面 ， M 是线段 上的动点 . （ 1 ）试确定点 M 的位置，使 平面 ，并说明理由； （ 7 分） （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，平面 将几何体 分成两部分，求空间几何体 与空间几何体 的体积的比值 . （ 7 分） 21 ．已知圆 ，点 ，点 是圆 上的动点， 的