辽宁省沈阳市新民市高级中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（解析版）

辽宁省沈阳市新民市高级中学 2023—2 024 学年度上学期 10 月份月考 数学试卷 一．选择题（共 8 小题每题 5 分） 1 ．已知集合 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 2 ．若复数 满足 （其中 是虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则（      ） A ． 的实部是 B ． 的虚部是 C ．复数 在复平面内对应的点在第四象限 D ． 3 ．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， ，且 ，则 （     ） A ． B ． C ． D ． 4 ．函数 的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ． 5 ．已知 ，则 的大小关系为（      ） A ． B ． C ． D ． 6 ．如图， △ ABC 是边长为 3 的等边三角形， D 在线段 BC 上，且 ， E 为线段 AD 上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ， ∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝ 1 ，则 的最小值为（　　） A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 7 8 ．已知函数 ，则函数 的零点个数是（      ） A ． B ． C ． D ． 二、多选题（共 4 小题每题 5 分） 9 ．已知 ， ，则下列叙述中正确的是（      ） A ． “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 B ．若函数 的最小值为 6 ，则 的值为 4 C ．若 ，则 D ．若向量 ， ，则 10 ．在平行四边形 中， ， ， ， 交 于 F 且 ，则下列说法正确的有（      ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知等差数列 的首项为 1 ，公差 ，前 n 项和为 ，则下列结论成立的有 A ．数列 的前 10 项和为 100 B ．若 成等比数列，则 C ．若 ，则 n 的最小值为 6 D ．若 ，则 的最小值为 12 ．已知函数 ，则下列命题正确的是（      ） A ．若方程 有两个不同的解，则 B ．若 与 的图象有且仅有一个公共点，则 或 C ．对任意 ，都有 恒成立 D ． 三、填空题（共 4 小题每题 5 分） 13 ．在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 的非负半轴重合，终边过点 ，则 ． 14 ．已知向量 ，若 ，则 与 的夹角余弦值为 ． 15 ．已知 ，若函数 y = f （ x ）的图像如图所示，则 . 16 ．已知四边形 ABCD ， 为边 BC 边上一点，连接 交 BD 于 ，点 满足 ，其中 是首项为 1 的正项数列， ，则 的前 n 项 .    四、解答题（共 6 小题 17 题 10 分其余每题 12 分） 17 ．如图，在 中，角 所对边分别为 ，已知 ． （ 1 ）求角 的大小； （ 2 ）若 为 边上一点， ， ， ，求 的长． 18 ．已知 ，设 ． (1) 求当 取最大值时，对应的 x 的取值； (2) 若 ，且 ，求 的值． 19 ．已知数列 ， 为 的前 n 项和， ， ， . (1) 证明： 是等比数列； (2) 设 ，求数列 的前 n 项和为 . 20 ．在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． (1) 求 的取值范围； (2) 若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值． 21 ．已知递增数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， (1) 求数列 和 的通项公式； (2) 记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围． 22 ．已知函数 （ 为自然对数的底数）． (1) 证明：当 时， ； (2)① 证明： 在区间 内有 4 个零点； ② 记 ① 中的 4 个零点为 ， ， ， ，且 ，求证： ． 1 ． C 【分析】先求得集合 的范围、集合 的范围，最后取它们的交集即可 . 【详解】由题意，集合 ， ，所以 ．故应选 C 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元一次不等式的解法以及集合交集的求法，属于基础题 . 2 ． A 【分析】由复数的除法求出复数 ，再根据复数的实部虚部、共轭复数和复数的模判断各选项是否正确 . 【详解】由已知可得复数 ， 所以复数 的实部为 ，虚部为 ，故 A 正确， B 错误， 复数 的共轭复数 ，其在复平面内对应的点 在第一象限，故 C 错误， ，故 D 错误， 故选： A ． 3 ． D 【分析】利用等差数列和等比数列的性质分析运算即可得解 . 【详解】解： ∵ 数列 是等差数列，且 ， ∴ ，可得 ，则 . ∵ 数列 是等比数列， ∴ ，又由题意 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选： D ． 4 ． C 【详解】 由题意知，函数 为奇函数，故排除 B ；当 时， ，故排除 D ；当 时， ，故排除 A ．故选 C ． 点睛 : 函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 5 ． A 【分析】分别计算出 与 0 和 1 的大小关系，即可判断出结果 . 【详解】由题意可计算 ， ， ， 则 ， 故选： A 6 ． D 【分析】由题可得 为 的中点，建立坐标系利用坐标法即得 . 【详解】 ∵ D 在线段 BC 上，且 ， ∴ ，又 为线段 AD 上一点，若 与 的面积相等， ∴ ， 为 的中点， 如图建立平面直角坐标系，则 ， ∴ ， ∴ . 故选： D. 7 ． B 【分析】根据三角形面积可得到 ，将 变为 ，展开后利用基本不等式，即可求得答案 . 【详解】由题意得 ， 即 ，得