湖南省顶级名校2022-2023学年高一上学期入学分班考试数学试卷(原卷全解析版）

2022 级新高一入学考试试卷 数 学 时量： 120 分钟 满分： 100 分 一、填空题（共 18 题，每小题 3 分，共 54 分．请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1. 一组数据如下： 7 ， 10 ， 9 ， 6 ， 11 ， 9 ， 8 ， 4 ，则这组数据的中位数为 ________ ． 2. 计算 ___________. 3. 化简： ________ ． 4. ________ ． 5 已知 ，则 ____________. 6. 如图，在 中， ， ， ， ，则 ________. 7. 已知 ，求 的值 ________ ． 8. 如图，边长为 20 正方形 ABCD 中，以 BC 为直径画一个半圆，直线 DE 与半圆相切，交 AB 于 E 点，则 DE= ________ ． 9. 不等式 的解集是全体实数，求实数 a 的取值范围 ________ ． 10. 若方程 三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数 的取值 范围是 ______________. 11. 如图， △ ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆 O 1 的直径，半圆 O 2 过 C 点且与半圆 O 1 相切，则图中阴影部分的面积是 ________ ． 12. 如图，已知 的半径是 1 ，圆心 在抛物线 上运动，当 与 轴相切时，圆心 的坐标为 ______. 13. 如图，直线 与抛物线 交于 A ， B 两点，点 P 是 y 轴上的一个动点，当 △ PAB 的周长最小时， S △ PAB = ________ ． 14. 因式分解： ________ ． 15. 二次函数 （ ）的大致图象如图所示，顶点坐标为（ ， ），下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 若方程 有两个根 和 ，且 ，则 ； ⑤ 若方程 有四个根，则这四个根的和为 ，其中正确的结论有 __________ 个． 16. 若二次函数 在 时的最大值为 3 ，那么 m 的值是 ________ ． 17. 如图，在菱形 ABCD 中，边 AB= 5 ， E ， F 分别在 BC 和 AD 上，若 DF= 1 ， BE= 3 ，且此时 BF=DE ，则 BF 的长为 ________ ． 18. 已知三个关于 x 的一元二次方程 ， ， 恰有一个公共实数根，则 的值为 ________ ． 二、解答题（共 5 小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置） 19. 随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在 “ 科技、阅读、书法、演讲和英语 ” 活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： （ 1 ）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整 统计图补充完整； （ 2 ）在此次调查活动中，初三（ 1 ）班的两个学习小组内各有 人都最喜欢演讲活动，其中，只有 人是女同学，现从中任选 人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选 人来自 同一个小组且恰有 人是女同学的概率． 20. 已知关于 x 的一元二次方程 有实数根． （ 1 ）求 m 取值范围； （ 2 ）若该方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 m 的值． 21. 如图， △ ABC 内接于 ⊙ O ， BD 为 ⊙ O 的直径， BD 与 AC 相交于点 H ， AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E ，且 ∠ A= ∠ EBC ． （ 1 ）求证： BE 是 ⊙ O 的切线； （ 2 ）已知 CG ∥ EB ，且 CG 与 BD ， BA 分别相交于点 F ， G ，若 BG · BA= 48 ， FG= ， DF= 2 BF ，求 AH 的值． 22. 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于点 A 、点 B ，与 y 轴的正半轴交于点 C ，点 A 的坐标为（ 1 ， 0 ）， OB=OC ，抛物线的顶点为 D ． （ 1 ）求此抛物线的解析式； （ 2 ）若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 ∠ APB= ∠ ACB ，求点 P 的坐标； （ 3 ） Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 ∠ AQB 的平分线的对称点为 A ' ，若 ，求点 Q 的坐标和此时 △ QAA ' 的面积． 23. 在矩形 ABCD 中， BD 为矩形 ABCD 的对角线， ∠ CBD= 60° ， BD= 12 ． （ 1 ）如图 ① ，将 △ BCD 绕点 B 逆时针旋转 120° 得到 △ BC 0 D 0 ，其中，点 C 、 D 的对应点分别是点 C 0 、 D 0 ，延长 D 0 C 0 交 AB 于点 E ．求 BE 的长； （ 2 ）如图 ② ，将（ 1 ）中的 △ BC 0 D 0 以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 BC 向右平行移动，得到 △ B 1 C 1 D 1 ，其中，点 B 、 C 0 、 D 0 的对应点分别是点 B 1 、 C 1 、 D 1 ，当点 C 1 移动到边 CD 上时停止移动．设移动的时间为 t 秒， △ B 1 C 1 D 1 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并 写出 t 的取值范围； （ 3 ）如图 ③ ，在 △ B 1 C 1 D 1 移动过程中，直线 D 1 C 1 与线段 AB 交于点 N ，直线 B 1 C 1 与线段 BD 交于点 M ．是否存在某一时刻 t ，使 △ MNC 为等腰三角形，若存在，求出时间 t ；若不存在，请说明理由． 2022 级新高一入学考试试卷 数 学 时量： 120 分钟 满分： 100 分 一、填空题（共 18 题，每小题 3 分，共 54 分．请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1. 一组数据如下： 7 ， 10 ， 9 ， 6 ， 11 ， 9 ， 8 ， 4 ，则这组数据的中位数为 ________ ． 【答案】 8.5 【解析】将该组 8 个数据从小到大排列有 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 9 ， 10 ， 11 ，故这组数据的中位数为 . 故答案为： 2. 计算